Сложение гармонических колебаний
Задача 1.
Найти частоту результирующего колебания и частоту биений, если
исходные колебания имеют вид : х1= Аcosw1t x2 = Acosw2t.
Пример решения
При сложении двух гармонических колебаний близких часот воспользуемся тригонометрической формулой преобразования суммы косинусов в их произведение:
х1+x2 = Аcosw1t + Acosw2t = 2Аcos [(w2 -w1)t/2]cos[(w2 + w1)t/2].
Частота результирующего колебания определяется вторым сомножителем - (w2 + w1)/4p, а первый сомножитель определяет изменение амплитуды биений. Частота биений равна (w2 - w1)/4p.
Период биений найдем стандартным образом Т = 1/n = 4p/(w2 - w1).
Задача 2.
Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями х= Аsinwt и у= Bcoswt, где А, В – положительные постоянные. Определить уравнение траектории точки и нарисовать ее. Указать направление движения точки по этой траектории.
Пример решения
х= Аsinwt Найти уравнение траектории нужно путем
у= Bcoswt исключения времени из уравнений как параметра.
Для этого следует воспользоваться известными
у = f(x) тригонометрическими соотношениями. В данном
случае воспользуемся соотношением sin2a + cos2a = 1.
sinwt = x/A, coswt = y/B, тогда (х/А)2 + (у/В)2 = 1.
Это уравнение эллипса. у
Начало колебаний В
Соответствует t = 0.
При этом х = 0, у = В.
Это исходная точка -А 0 А х
колебаний. При t > 0
x > 0, y < B. Следовательно -В
при колебательном процессе точка перемещается по траектории направо по часовой стрелке.
Варианты
1.9. Два одинаково направленных гармонических колебания
одинакового периода с амплитудами А1 = 4 см и А2 = 8 см имеют
разность фаз 45о. Определить амплитуду результирующего
колебания.
2.9. Амплитуда результирующего колебания, получаюшегося при
сложении двух одинаково направленных гармонических
колебаний одинаковой частоты, обладающих разностью фаз
60о, равна 6 см. Определить амплитуду второго колебания,
если А1 = 5 см.
3.9. Определить разность фаз двух одинаково направленных
гармонических колебаний одинаковых частоты и амплитуды,
если амплитуда их результирующего колебания равна
амплитудам складываемых колебаний.
4.9. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических
колебаний одинакового периода Т = 4 с и одинаковой
амплитуды А = 5 см составляет p/4. Написать уравнение
результирующего колебания, если начальная фаза одного из
них равна нулю.
5.9. Частоты колебаний двух одновременно звучащих камертонов
настроены соответственно на 560 и 560,5 Гц. Определить
период биений.
6.9. Складываются два гармонических колебания одного
направления, имеющие одинаковые амплитуды и одинаковые
начальные фазы, с периодами Т1 = 2 с и Т2 = 2,05 с.
Определить период результирующего колебания и период
биений.
7.9. Точка участвует одновременно в двух гармонических
колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных
направлениях и описываемых уравнениями х = 3coswt, см и
у = 4coswt, см. Определить уравнение траектории точки и
нарисовать ее.
8.9. Точка участвует одновременно в двух гармонических
колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных
направлениях и описываемых уравнениями х= 3cos2wt , см и
у= 4cos(2wt + p) , см. Определить уравнение траектории точки и
нарисовать ее.
9.9. Точка участвует одновременно в двух гармонических
колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных
направлениях и описываемых уравнениями х= coswt, см и
у= 2cos(wt/2), где w=p c-1. Определить уравнение траектории
точки и нарисовать ее. Указать направление движения точки по
этой траектории.
10.9.Точка участвует одновременно в двух гармонических
колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных
направлениях и описываемых уравнениями х= Аsin(wt + p/2) и
у= Asinwt. Определить уравнение траектории точки и
нарисовать ее. Указать направление движения точки по этой
траектории.