Задачи на экзамен по теме «Комбинаторика, вероятность, статистика»

Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика» ( Б-1П) 1 семестр

1. Числовые функции. Способы задания функции.

2. Основные элементарные функции.

3. Понятие предела функции.

4. Основные теоремы о пределах функций.

5. Два замечательных предела.

6. Непрерывность функций.

7. Определение производной. Геометрический смысл производной.

8. Основные формулы дифференцирования.

9. Понятие дифференциала функции.

10. Возрастание и убывание функций. Достаточные признаки возрастания и убывания функций.

11. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.

12. Выпуклость и вогнутость графика функции.

13. Схема исследования функции и построения ее графика.

14. Неопределенный интеграл.

15. Определенный интеграл, его геометрический смысл.

16. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.

17. Случайные события. Классификация событий.

18. Алгебра событий. Сумма и произведение событий.

19. Классическая вероятность события.

20. Статистическая вероятность события.

21. Комбинаторика. Общие правила комбинаторики.

22. Размещения. Сочетания. Перестановки.

23. Теорема сложения вероятностей.

24. Теорема умножения вероятностей.

25. Условная вероятность.

26. Вероятность появления хотя бы одного события.

27. Формула полной вероятности.

28. Формула Байеса.

29. Принятие решений на основе байесовских стратегий.

30. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины.

31. Представление статистических данных. Полигон и гистограмма.

32. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Мода, медиана. Математическое ожидание. Среднее арифметическое.

33. Меры разброса случайных величин. Размах выборки. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение.

34. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность распределения вероятностей.

35. Равномерное распределение.

36. Нормальное распределение.

37. Понятие об экспертных методах. Метод ранжировки.

38. Метод шкальных оценок.

39. Оценка коэффициента компетентности.

40. Комбинированный метод.

41. Метод парных сравнений.

Задачи на экзамен по дисциплине «Математика»(Б-1П) 1семестр

1. Построить графики функций: у = х² – 1 и у = .

2. Построить графики функций: у = 3^х и у =.

3. Найти следующие пределы: 1) ; 2) .

3) .

4. Найти точки разрыва функции у = .

5. Найти производную функции: 1) у = 3х³ – 5х +5; 2) у =;

3) y = ; 4) y = .

6. Найти промежутки возрастания и убывания функции: 1) у = х² – х;

2) у = х³ – 9х .

7. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:

1) у = х³ – 3х²; 2) у = х⁴ – 8х² + 3.

8. Построить график функции у = +1 .

9. Найти интеграл .

10. Вычислить интегралы: 1) ; 2) .

11. Сколькими способами могут занять очередь в школьный буфет:

1) 6 учащихся; 2) 5 учащихся?

12. Сколькими способами могут распределиться золотая и сереб­ряная медали на чемпионате по футболу, если в нём прини­мают участие:

1) 32 команды; 2) 16 команд?

13. Имеются 5 тюльпанов и 6 нарциссов. Сколькими способами можно составить букет: 1) из 3 тюльпанов и 2 нарциссов;

из 2 тюльпанов и 3 нарциссов?

14. Сколькими способами могут распределиться одно первое, одно второе и одно третье места среди: 1) десяти; 2) восьми участников соревнования?

15. В коробке находятся 2 белых, 3 чёрных и 4 красных шара. Наугад вынимается один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: 1) белый; 2) чёрный; 3) красный; 4) бе­лый или чёрный; 5) белый или красный; 6) чёрный или красный; 7) или белый, или чёрный, или красный; 8) синий.

16. Среди 20 деталей, лежащих в ящике, 3 детали бракованные. Наугад вынимают 2 детали. Какова вероятность того, что: 1) обе детали оказались бракованными; 2) одна деталь брако­ванная, а другая нет; 3) обе детали не бракованные?

17. Среди 15 лампочек 4 испорченные. Наугад берут 2 лампочки. Какова вероятность того, что: 1) обе выбранные лампочки испорчены; 2) одна лампочка исправная, а одна — испорчен­ная; 3) обе лампочки исправные?

18. Вероятность попадания мяча в корзину, брошенного один раз некоторым баскетболистом, равна 0,4. Найти вероят­ность того, что, бросив мяч в корзину, этот баскетболист промахнётся.

19. В первой коробке находятся 7 белых и 3 чёрных шара, а во второй — 5 белых и 9 чёрных. Не глядя из каждой коробки вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что: 1) оба вынутых шара белые; 2) оба вынутых шара чёрные; 3) хотя бы один шар белый; 4) хотя бы один шар чёрный.

20. Найти моду выборки:

1) 4, 15, 6, 7, 3, 6, 8; 2) 1, 3, 5, 1, 4, 3, 2;

21. Найти медиану выборки:

1) 17, 12, 34, 18, 6; 2) 4, 1, 8, 9, 13, 10;

22. Найти среднее значение выборки:

1) 24, -5, 13, -8; 2) 7, 16, -9, -2, 10;

23. Найти среднее квадратичное отклонение от среднего значе­ния элементов выборки:

1) 3 кг, 5 кг, 5 кг, 8 кг, 4 кг; 2) 12м, 10м, 7м, 12м, 9м.

24.Сравнить дисперсии двух выборок, имеющих одинаковые

средние значения:

1) 6, 10, 7, 8, 9 2) 8, 9, 5,10.

Задачи на экзамен по теме «Комбинаторика, вероятность, статистика»

1. Сколько различных двузначных чисел с разными цифрами можно записать, используя цифры:

1) 1, 2 и 3; 2) 0, 3, 5 и 7?

2. Путешественник может попасть из пункта А в пункт С, про­ехав через пункт В. Между пунктами А и В имеются три раз­личные дороги, а между пунктами В и С — четыре различ­ные дороги. Сколько существует различных маршрутов между пунктами А и С?

3. Сколькими способами могут распределиться золотая и сереб­ряная медали на чемпионате по футболу, если в нём прини­мают участие:

1) 32 команды; 2) 16 команд?

4.Сколькими способами могут занять очередь в школьный буфет:

1) 6 учащихся; 2) 5 учащихся?

5. В классе 18 учащихся. Из их числа нужно выбрать физорга, культорга и казначея. Сколькими способами это можно сде­лать, если один ученик может занимать не более одной должности?

6. В классе 20 учащихся. Необходимо назначить по одному де­журному в столовую, вестибюль и спортивный зал. Сколь­кими способами это можно сделать?

7. Сколькими способами можно рассадить четверых детей на четырёх стульях в столовой детского сада?

8. Сколькими способами могут занять места 5 учащихся класса за пятью одноместными партами?

9. В шахматном турнире участвуют:

1) 6 юношей и 2 девушки; 2) 5 юношей и 3 девушки. Сколь­кими способами могут распределиться места среди девушек, если все участники турнира набирают разное количество очков.

10. Сколькими способами для участия в конференции из 9 чле­нов научного общества можно выбрать:

1)троих студентов; 2) четверых студентов?

11. Имеются 5 тюльпанов и 6 нарциссов. Сколькими способами можно составить букет: 1) из 3 тюльпанов и 2 нарциссов;

из 2 тюльпанов и 3 нарциссов?

12. В школьном хоре 7 девочек и 4 мальчика. Сколькими спосо­бами из состава хора можно выбрать для участия в районном смотре: 1) 5 девочек и 2 мальчиков; 2) 4 девочек и 3 маль­чиков?

13. Сколькими способами могут распределиться одно первое, одно второе и одно третье места среди: 1) десяти; 2) восьми участников соревнования?

14. В вазе лежат 7 разных пирожных. Сколько существует ва­риантов выбора из них двух пирожных?

15. Шифр в камере хранения состоит из двух букв, выбираемых из 10 гласных русского алфавита, и четырёхзначного число­вого кода (буквы и цифры в шифре могут повторяться; чис­ловой код 0000 также возможен). Сколько различных шиф­ров можно использовать в этой камере хранения?

16. В некотором государстве автомобильный номер составляется из трёх различных букв алфавита, состоящего из 25 букв, и трёх цифр (с их возможными повторами). Скольким авто­мобилям можно присвоить получаемые таким образом но­мера?

17. В коробке находятся 2 белых, 3 чёрных и 4 красных шара. Наугад вынимается один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: 1) белый; 2) чёрный; 3) красный; 4) бе­лый или чёрный; 5) белый или красный; 6) чёрный или красный; 7) или белый, или чёрный, или красный; 8) синий.

18. Среди 20 деталей, лежащих в ящике, 3 детали бракованные. Наугад вынимают 2 детали. Какова вероятность того, что: 1) обе детали оказались бракованными; 2) одна деталь брако­ванная, а другая нет; 3) обе детали не бракованные?

19. Среди 15 лампочек 4 испорченные. Наугад берут 2 лампочки. Какова вероятность того, что: 1) обе выбранные лампочки испорчены; 2) одна лампочка исправная, а одна — испорчен­ная; 3) обе лампочки исправные?

20. Вероятность попадания мяча в корзину, брошенного один раз некоторым баскетболистом, равна 0,4. Найти вероят­ность того, что, бросив мяч в корзину, этот баскетболист промахнётся.

21. В первой коробке находятся 7 белых и 3 чёрных шара, а во второй — 5 белых и 9 чёрных. Не глядя из каждой коробки вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что: 1) оба вынутых шара белые; 2) оба вынутых шара чёрные; 3) хотя бы один шар белый; 4) хотя бы один шар чёрный.

22. Найти моду выборки:

1) 4, 15, 6, 7, 3, 6, 8; 2) 1, 3, 5, 1, 4, 3, 2;

23. Найти медиану выборки:

1) 17, 12, 34, 18, 6; 2) 4, 1, 8, 9, 13, 10;

24. Найти среднее значение выборки:

1) 24, -5, 13, -8; 2) 7, 16, -9, -2, 10;

25. Найти среднее квадратичное отклонение от среднего значе­ния элементов выборки:

1) 3 кг, 5 кг, 5 кг, 8 кг, 4 кг; 2) 12м, 10м, 7м, 12м, 9м.

26.Сравнить дисперсии двух выборок, имеющих одинаковые

средние значения:

1) 6, 10, 7, 8, 9 2) 8, 9, 5,10.

27. Вычислить: , , .

28. Вычислить: Р₂, Р₃, Р₄, Р₅.

29.Вычислить: , , .