Мерой для оценки включения фактора в модель

служит частный F-критерий, т.е. . Так, если оцениваем значимость влияния фактора после включения в модель факторов , то формула частного F-критерия примет вид:

.

Если фактическое значение критерия с и степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то дополнительное включение фактора в модель статистически оправдано и коэффициент регрессии при данном факторе статистически значим.

Оценка значимости коэффициентов «чистой» регрессии

Для каждого фактора используется формула

,

где – коэффициент «чистой» регрессии при факторе ; – средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии ,

,

где – среднее квадратическое отклонение для признака y;

– коэффициент детерминации для уравнения множественной регрессии;

– среднее квадратическое отклонение для признака ;

– коэффициент детерминации для зависимости фактора со всеми другими факторами уравнения множественной регрессии.

Практические рекомендации по выполнению расчетов

с помощью табличного редактора MS Excel

Исследуется зависимость производительности труда y (т/ч) от уровня механизации работ (%), среднего возраста работников (лет) и энерговооруженности (кВт/100 работающих) по данным 14 промышленных предприятий.

y

Необходимо:

1. Рассчитать параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов.

2. Оценить значимость уравнения в целом, используя значение множественного коэффициента корреляции и общего F-критерия Фишера.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия.

4. Исследовать коллинеарность между факторами. При наличии мультиколлинеарности исключить какой-либо фактор из уравнения регрессии.

5. Построить новое уравнение множественной регрессии, провести все необходимые исследования, аналогичные проведенным выше.

6. На основании результатов п. 5 найти

а) средние коэффициенты эластичности фактора y от независимых факторов;

б) прогнозное значение результата при значении важнейшей объясняющей переменной, равном максимальному наблюденному значению, увеличенному на 10 %, и при значении второй объясняющей переменной, равном минимальному наблюденному значению, уменьшенному на 15%.

в) Интервальное предсказание значения y с надежностью 0,95.

1. Получение протокола расчета. Операция проводится с помощью инструмента Анализ данных/Регрессия. Она аналогична расчету параметров парной линейной регрессии, рассмотренной выше, только в отличие от парной регрессии при заполнении строки входной интервал X в диалоговом окне следует указать сразу все столбцы значений факторных переменных.

Результаты анализа имеют вид:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,97517313
R-квадрат	0,950962633
Нормированный R-квадрат	0,936251423
Стандартная ошибка	2,038864298
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия		806,1446094	268,7148698	64,64204
Остаток		41,56967627	4,156967627
Итого		847,7142857
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	5,711742473	6,18918556	0,922858495
x1	0,148601283	0,340417689	0,436526326
x2	0,064880259	0,162051974	0,400366976
x3	0,037784221	0,033824423	1,11706919

2. Оцениваем статистическую значимость в целом. Изучив результаты, отмечаем, что в целом полученное уравнение линейной множественной регрессии

является статистически значимым. Действительно, . Сравним это число с критическим значением критерия Фишера, полученным при числе степеней свободы и , где n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x. В нашем случае , . Критическое значение даст функция FРАСПОБР. , что существенно меньше расчетного значения.

О доле вариации результативного признака y, объясненной построенным уравнением множественной регрессии лучше всего судить по значению нормированного коэффициента корреляции, в данном случае он равен 0,9363. То есть построенное уравнение объясняет почти 94% всей вариации признака y.

3. Оцениваем статистическую значимость по отдельным параметрам. Чтобы оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия, найдем соответствующее нашим параметрам критическое значение с помощью функции СТЬЮДРАСПОБРпри заданном уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы . Коэффициент признается значимым, если выполняется неравенство .

Имеем

	0,44	0,4	1,12
	2,2281

Таким образом, ни один из факторов не имеет статистически значимого коэффициента регрессии, и построенное уравнение для прогнозирования непригодно.

4. Исследуем коллинеарность между факторами. Матрицу парных коэффициентов корреляции можно получить, используя инструмент Анализ данных/Корреляция. Заполнив диалоговое окно,

получим следующий результат:

Для оценки мультиколлинеарности факторов вычислим определитель матрицы парных коэффициентов корреляции факторов.

.

Поскольку определитель матрицы межфакторной корреляции близок к нулю, имеем мультиколлинеарность факторов и вытекающую отсюда ненадежность результатов множественной регрессии.

Оценка значимости мультиколлинеарности факторов может быть проведена методом испытания гипотезы о независимости переменных, т.е. . Доказано, что величина имеет приближенное распределение с числом степеней свободы . Если фактическое значение превосходит табличное (критическое), то гипотеза отклоняется, и мультиколлинеарность считается доказанной.

Имеем .

Критическое значение можно найти через статистическую функцию ХИ2ОБР( ), где – уровень значимости (по условию 0,05), а n – число степеней свободы. В нашем случае степеней свободы . Получаем . . Мультиколлинеарностью факторов пренебречь нельзя.

Особенно высока коллинеарность факторов и , . Один из этих факторов следует исключить из уравнения регрессии. Логично исключить тот, который имеет меньший коэффициент парной корреляции. Поскольку , а , исключаем фактор .

5. Построим регрессию на факторах и .

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,974693901
R-квадрат	0,950028201
Нормированный R-квадрат	0,940942419
Стандартная ошибка	1,962415214
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия		805,3524775	402,6762388	104,5621
Остаток		42,3618082	3,851073473
Итого		847,7142857
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	7,265656067	4,873196972	1,490942416
x2	0,031021017	0,136948082	0,226516625
x3	0,052435862	0,004030875	13,00855684

Получили результаты:

, , , что много больше, чем .

	0,22
	2,2281

Таким образом, при весьма удовлетворительной значимости уравнения регрессии в целом, мы добились значимости коэффициента регрессии при переменной .

6.

а) Найдем коэффициенты эластичности:

, (6.18)

где – коэффициент «чистой» регрессии при факторе ;

– среднее значение результативного признака;

– среднее значение признака .

Имеем

	y
Среднее	35,14285714		508,5714286
Эластичность

Таким образом, при изменении фактора (среднего возраста работников)на 1%, производительность возрастает незначительно, на 0,03%; при изменении фактора (энерговооруженности)на 1%, производительность труда увеличивается на 0,72%.

б) Выполним прогнозирование. Максимальное наблюденное значение фактора – 750. Минимальное значение фактора –31. Прогнозные значения факторов:

; .

Тогда .

в) Доверительный интервал для данного прогнозного значения y можно найти, зная предельную ошибку прогноза , где – соответствующее критическое значение критерия Стьюдента, а – ошибка прогнозного значения. В нашем случае .

Ошибку прогнозного значения функции регрессии получим по формуле

.

Шаг 1. Параметр S – стандартная ошибка регрессии приведен в последней регрессионной статистике .

Шаг 2. Матрица состоит из чисел: . То есть ,

.

Шаг 3. Матрица X состоит из чисел .

Составляем вспомогательную таблицу:

	…..	…..	….	…..	…..
Сумма

В данном случае, .

Шаг 4. Транспонируем матрицу X. Поскольку она симметрическая, то

.

Шаг 5. Найдем произведение матриц . В Exсel это можно сделать с помощью функции МУМНОЖ.

	58537523,04
		1,10572E+12
	1,10572E+12	1,53641E+13

Шаг 6. Найдем обратную матрицу к матрице произведения . В Exсel это можно сделать с помощью функции МОБР.

	0,281568563	-0,007773123	9,81695E-06
-0,007773123	0,000215175	-3,13231E-07
9,81695E-06	-3,13231E-07	3,38079E-09

Шаг 7. Найдем произведение матриц (размерность матрицы произведения ).

0,083373216

-0,002314683

3,84533E-06

Шаг 8. Найдем произведение матриц (размерность матрицы произведения , то есть только одно число).

.

Шаг 9. .

Шаг 10. .

Шаг 11. Таким образом, прогнозное значение результата будет с вероятностью 95% находиться в интервале .

Задания для самостоятельной работы

Вариант 1

x1

x2

x3

y

Вариант 2

x1

x2

x3

y

Вариант 3

x1

x2

x3

y

Вариант 4

x1

x2

x3

y

Вариант 5

x1

x2

x3

y

Вариант 6

x1

x2

x3

y

Вариант 7

x1

x2

x3

y

Вариант 8

x1

x2

x3

y

Вариант 9

x1

x2

x3

y

Вариант 10

x1

x2

x3

y