Свойства треугольника Паскаля
. Числа, равноудаленные от концов треугольника Паскаля, равны.
. Для нахождения 
-го числа 
-й строки треугольника Паскаля надо умножить 
‑ое на 
и поделить на 
.
. Каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, находящихся над ним.
. Сумма чисел n-ой строки треугольника Паскаля равна 
.
Свойство позволяет легко заменить в таблице обозначения 
конкретными числами, не пользуясь формулой числа сочетаний. Получаем следующую таблицу:
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
. . . . . . . . . .
Таблица 2.
Для получения этой таблицы надо на сторонах треугольника записать единицы, а внутренность угла при вершине заполнять, идя сверху вниз суммами стоящих рядом чисел предыдущей строки.
Например, число 10 в пятой строке табл. 2 получено сложением чисел 4 и 6 предыдущей строки.
Бином Ньютона
Приведем формулу для возведения суммы двух чисел в натуральную степень. Прежде всего, заметим, что числа стоящие с строках треугольника Паскаля, встречаются при возведении в степень двучлена 
:
,
.
Но коэффициенты 1, 2, 1 – это числа, стоящие во второй (напоминаем, что мы ведем счет с 0) строке таблицы 2, т.е. 
, а 1, 3, 3, 1 – числа, стоящие в третьей строке той же таблицы, т.е. 
.
Это замечание позволяет предположить, что справедливо следующее утверждение.
Т е о р е м а 5.Длялюбых чисел 
и натурального числа справедлива формула
= 
+ 
+ 
+ … + 
+ … + 
. (1)
□ Доказательство формулы (6) проведем индукцией по n, используя свойство 
сочетаний.
База индукции. При 
имеем 
= = 
+ 
и, следовательно, формула (1) справедлива.
Шаг индукции. Предположим, что формула (6) справедлива при 
, т.е.
= 
+ 
+ … + 
+ … + 
. (2)
Чтобы доказать справедливость равенства (1) при 
, умножим обе части равенства (2) на :
= 
+ + … + + … + 
. 
Раскрывая скобки и приводя подобные в правой части последнего равенства, получаем
= 
+ 
+ … + 
+ … + 
.
Учитывая очевидные равенства 
= 
, 
= 
и свойство сочетаний, имеем
= 
+ 
+ … + 
+ … + 
.
Итак, формула (1) справедливо при 
+ 1.
Вывод. Формула (1) справедлива при любом натуральном .
Формулу (1) называют обычно формулой бинома Ньютона, хотя она была известна задолго до Ньютона уже упоминавшемуся Гиясэддину Каши, а также Паскалю и другим. Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашел обобщение формулы (6) на случай нецелых показателей.
Формулу (1), учитывая, что = 
, в развернутом виде можно переписатьв следующем виде:
= 
+ 
+ 
+ …
…+ 
+ … + 
+ 
. ( 
)
С помощью формулы бинома Ньютона можно получить некоторые из доказанных ранее свойств сочетаний, а также вывести иные их свойства, и наоборот, свойства сочетаний позволяют упрощать вычисления коэффициентов в формуле (1). Числа 
, 
, …, 
называются биномиальными коэффициентами. Поскольку эти числа записаны в n‑ой строке треугольника Паскаля, то перефразируя его свойства получаем следующие