Глава 2. методы определения погрешностей

ИЗМЕРЕНИЙ

Оценка погрешностей методом статистического учета

Расчет абсолютной и относительной погрешностей

Прямых измерений

Измерения одной и той же величины дают в общем случае результаты, несколько отличающиеся друг от друга даже тогда, когда они производились одним и тем же лицом, одним и тем же способом, посредством одних и тех же приборов. Допустим, что мы произвели n прямых (непосредст­венных) измерений некоторой физической величины, ис­тинное значение которой (нам неизвестное) обозначим че­рез x. Обозначим через x₁, x₂, x₃, …, x_n результаты отдельных измерений, а через Dx_i = x - x_i – абсолютную погрешность n-го измерения. Абсолютной погрешностью измеряемой величины называется разница между истинным и измеренным значениями этой величины. Абсолютная погрешность измеряется в единицах измеряемой величины. Тогда результаты измерений можно представить в виде:

x_i = x - Dx_i, где i=1, 2, 3, … , n (2.1)

Естественно, что абсолютные погрешности Dx_i могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Суммируя левую и почленно правую стороны равенств (2.1), имеем:

. (2.2)

Разделив обе стороны равенства (2.2) на число измере­ний п, получим после перестановки членов:

, (2.3)

где –среднеарифметическая величина. (2.4)

Если число измерений п достаточно велико (строго го­воря, при n®¥), получим равенство:

, (2.5)

так как в серии из большого числа измерений всякой положительной погрешности можно сопоставить равную ей по абсолютной величине отрицательную погрешность. Из (2.3) и (2.5) следует:

при , (2.6)

т.е. при бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифмети­ческому значению.

Однако при ограниченном числе измерений n среднеарифметическое значение будет отли­чаться от истинного значения, т.е. равенство (2.6) будет не точным, а приближенным: .

Нам необходимо оценить величину этого расхождения.

Появление того или иного значения x_i, в процессе из­мерения является случайным событием. Существует некоторая вероятность появления этого значения в интервале ( ), а следовательно, и появления соответствующего значения абсолютной по­грешности Dx_i.

Задавая вероятность того, что истинное значение из­меряемой величины x попадает в данный доверительный интервал, другими словами, задавая надежность α по числу проведенных измерений n можно определить значение коэффициента Стьюден­та t_a,n (см. приложение 7) и, следовательно, найти случайную абсолютную погрешность Δx_случ:

. (2.7)

Эта погрешность является только частью совершаемой ошибки, обусловленной случайными причинами. Полная же абсолютная погрешность складывается из случайной погрешности и погрешности измерительного прибора. Последняя при выполнении лабораторных работ физического практикума, если неизвестен класс точности прибора, может быть определена как наименьшая цена деления измерительного прибора :

. (2.8)

Тогда полная абсолютная погрешность измеряемой величины может быть рассчитана так:

. (2.9)

Далее под будем понимать полную абсолютную погрешность измеряемой величины.

После того, как полная абсолютная погрешность посчитана, результат измерений можно записать в виде: . Это означает, что истинное значение величины x с надежно­стью α попадает в этот доверительный интервал.

Следует отметить, что величина абсолютной погреш­ности Δx результата измерений сама по себе еще не опре­деляет точности измерений.

Пусть, например, измеряя длину карандаша рулеткой, разделенной на сантиметры, мы получили, что эта длина равна l=18,0±0,5 см(±0,5 см составляет погрешность ленты рулетки). Если при помощи этой же рулетки мы измерим диаметр карандаша, то получим d=0,5±0,5 см. Хотя абсолют­ная погрешность измерений одинакова, точность измере­ний различна. Если в первом случае измерения достаточ­но точны, то во втором случае значение погрешности сравнимо по порядку с измеряемой величиной, что позволяют судить лишь о порядке величины.

Для оценки точности измерений вводится понятие от­носительной погрешности ε, равной отношению абсолют­ной погрешности Δx результата измерений к среднему значению:

. (2.10)

В таком виде эта погрешность выражается в долях от единицы. Если же умножить ее на 100%, то она будет представлена в процентах:

. (2.11)

За меру точности измерения принимают величину, обрат­ную ε. Следовательно, чем меньше относительная по­грешность e, тем выше точность измерений.