Автокорреляция уровней временного ряда
В значительной части временных рядов между уровнями, особенно близко расположенных, существует взаимосвязь, т.е. значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутых на несколько шагов во времени. Число уровней, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом.
Определим коэффициент корреляции между рядами yt и yt-1, т.е. коэффициент автокорреляции 1-го порядка
, (9.14)
где
, 
.
Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции производится по (n–1), а не по n парам наблюдений.
Определим теперь коэффициент автокорреляции 2-го порядка, коэффициент корреляции между рядами yt и yt-2, т.е.
, (9.15)
где
, 
.
Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка уже будет производится по (n–2) парам наблюдений.
Следует учитывать, что с увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Поэтому некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный порядок коэффициента автокорреляции не должен превышать n/4.
Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции:
Во-первых, он строится по аналогии с обычным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициентам автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, парабола или экспонента), коэффициенты автокорреляции уровней могут приближаться к нулю.
Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
По длинному временному ряду можно определить серию коэффициентов автокорреляции, последовательно увеличивая величину лага: r1, r2, r3, … Последовательность коэффициентов автокорреляции называется автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет уточнить структуру временного ряда, выявить наличие или отсутствие в нём тенденции или периодических колебаний. Если временной ряд характеризуется чётко выраженной линейной тенденцией, то для него коэффициент автокорреляции 1-го порядка приближается к 1. Если же временной ряд содержит периодические колебания, то и автокорреляционная функция также будет содержать периодические колебания. Если временной ряд не содержит периодических колебаний, то коррелограмма представляет собой затухающую функцию, т.е. коэффициенты автокорреляции высоких порядков приближаются к нулю.
Анализ коррелограммы – это порой довольно непростая задача. Поэтому мы кратко остановимся на типичном поведении коррелограмм для некоторых классов временных рядов. Для начала рассмотрим поведение коррелограммы для некоторых нестационарных временных рядов. На графиках кроме значений самой функции, обычно указывают доверительные пределы этой функции
Для временного ряда, содержащего тренд, коррелограмма не стремится к нулю с ростом значения лага t. Ее характерное поведение изображено на рис.9.1.
Рис. 9.1. Коррелограмма ряда урожайности зерновых культур в СССР
с 1945 по 1989 гг. в ц/га: а) исходный временной ряд; б) его коррелограмма.
Для временного ряда с сезонными колебаниями коррелограмма также будет содержать периодические всплески, соответствующие периоду сезонных колебаний. Это позволяет устанавливать предполагаемый период сезонности. Типичное поведение коррелограммы приведено на рис.9.2.
Рис. 9.2. Коррелограмма ряда месячных продаж шампанского за 7 последовательных лет в логарифмической шкале (после удаления линейного тренда): а) преобразованный исходный временной ряд; б) его коррелограмма.
Пример 9.1. Пусть имеются следующие условные данные о средних расходах на конечное потребление (yt, ден. ед.) за 8 лет:
| t | ||||||||
| yt |
Найти коэффициенты автокорреляции 1-го и 2-го порядков.
Решение. Вычислим коэффициент автокорреляции 1-го порядка, для этого составим таблицу, содержащую промежуточные вычисления:
| t | yt | yt+1 | yt–y1 | yt+1–y2 | (yt–y1)(yt+1–y2) | (yt–y1)2 | (yt+1–y2)2 |
| – | – | – | – | – | – | ||
| -137,857 | -74,714 | 10299,898 | 19004,592 | 5582,224 | |||
| -17,857 | -116,714 | 2084,184 | 318,878 | 13622,224 | |||
| 0,143 | 3,286 | 0,469 | 0,020 | 10,796 | |||
| 8,143 | 21,286 | 173,327 | 66,306 | 453,082 | |||
| 53,143 | 29,286 | 1556,327 | 2824,163 | 857,653 | |||
| 42,143 | 74,286 | 3130,612 | 1776,020 | 5518,367 | |||
| 52,143 | 63,286 | 3299,898 | 2718,878 | 4005,082 | |||
| – | – | 20544,714 | 26708,857 | 30049,429 |
Поскольку
, 
,
то
, 
.
Тогда
Полученное значение свидетельствует о тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и непосредственно предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление линейной тенденции (рис. 9.3).
Рис. 9.3
Вычислим коэффициент автокорреляции 2-го порядка, для этого составим таблицу, содержащую промежуточные вычисления:
| t | yt | yt+2 | yt–y3 | yt+2–y4 | (yt–y3)(yt+2–y4) | (yt–y3)2 | (yt+2–y4)2 |
| – | – | – | – | – | – | ||
| – | – | – | – | – | – | ||
| -40,833 | -64,167 | 2620,139 | 1667,361 | 4117,361 | |||
| -22,833 | -106,167 | 2424,139 | 521,361 | 11271,361 | |||
| -14,833 | 13,833 | -205,194 | 220,028 | 191,361 | |||
| 30,167 | 31,833 | 960,306 | 910,028 | 1013,361 | |||
| 19,167 | 39,833 | 763,472 | 367,361 | 1586,694 | |||
| 29,167 | 84,833 | 2474,306 | 850,694 | 7196,694 | |||
| – | – | 9037,167 | 4536,833 | 25376,833 |
Поскольку
, 
,
то 
, 
. Тогда
Полученный результат еще раз подтверждает вывод о том, что временной ряд расходов на конечное потребление содержит линейную тенденцию.
Пример 9.2. Имеются поквартальные условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона.
Таблица 9.7
| Номер квартала | Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВт×ч | Номер квартала | Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВт×ч |
| 6,0 | 8,0 | ||
| 4,4 | 5,6 | ||
| 5,0 | 6,4 | ||
| 9,0 | 11,0 | ||
| 7,2 | 9,0 | ||
| 4,8 | 6,6 | ||
| 6,0 | 7,0 | ||
| 10,0 | 10,8 |
Построить автокорреляционную функцию временного ряда.
Решение. Для расчета коэффициентов автокорреляции исходного временного ряда составим таблицу (табл. 9.8):
Таблица 9.8
| t | yt | yt-1 | yt-2 | yt-3 | yt-4 | yt-5 | yt-6 |
| 6,0 | – | – | – | – | – | – | |
| 4,4 | 6,0 | – | – | – | – | – | |
| 5,0 | 4,4 | 6,0 | – | – | – | – | |
| 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | – | – | – | |
| 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | – | – | |
| 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | – | |
| 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | 6,0 | |
| 10,0 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | 4,4 | |
| 8,0 | 10,0 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | 5,0 | |
| 5,6 | 8,0 | 10,0 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | 9,0 | |
| 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10,0 | 6,0 | 4,8 | 7,2 | |
| 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10,0 | 6,0 | 4,8 | |
| 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10,0 | 6,0 | |
| 6,6 | 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | 10,0 | |
| 7,0 | 6,6 | 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 | 8,0 | |
| 10,8 | 7,0 | 6,6 | 9,0 | 11,0 | 6,4 | 5,6 |
Определим коэффициент корреляции между рядами yt и yt-1, т.е. коэффициент автокорреляции 1-го порядка. Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции производится по 15, а не по 16 парам наблюдений. Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции 1-го порядка (таб. 9.9):
Таблица 9.9
| t | yt | yt-1 |  |  |  |  |  |
| 6,0 | – | – | – | – | – | – | |
| 4,4 | 6,0 | -2,987 | -1,067 | 3,186 | 8,920 | 1,138 | |
| 5,0 | 4,4 | -2,387 | -2,667 | 6,364 | 5,696 | 7,111 | |
| 9,0 | 5,0 | 1,613 | -2,067 | -3,334 | 2,603 | 4,271 | |
| 7,2 | 9,0 | -0,187 | 1,933 | -0,361 | 0,035 | 3,738 | |
| 4,8 | 7,2 | -2,587 | 0,133 | -0,345 | 6,691 | 0,018 | |
| 6,0 | 4,8 | -1,387 | -2,267 | 3,143 | 1,923 | 5,138 | |
| 10,0 | 6,0 | 2,613 | -1,067 | -2,788 | 6,830 | 1,138 | |
| 8,0 | 10,0 | 0,613 | 2,933 | 1,799 | 0,376 | 8,604 | |
| 5,6 | 8,0 | -1,787 | 0,933 | -1,668 | 3,192 | 0,871 | |
| 6,4 | 5,6 | -0,987 | -1,467 | 1,447 | 0,974 | 2,151 | |
| 11,0 | 6,4 | 3,613 | -0,667 | -2,409 | 13,056 | 0,444 | |
| 9,0 | 11,0 | 1,613 | 3,933 | 6,346 | 2,603 | 15,471 | |
| 6,6 | 9,0 | -0,787 | 1,933 | -1,521 | 0,619 | 3,738 | |
| 7,0 | 6,6 | -0,387 | -0,467 | 0,180 | 0,150 | 0,218 | |
| 10,8 | 7,0 | 3,413 | -0,067 | -0,228 | 11,651 | 0,004 | |
| Среднее | 110,8 | 9,813 | 65,317 | 54,053 |
По данным таблицы находим
, 
.
Используя формулу (9.14), находим
.
Определим теперь коэффициент автокорреляции 2-го порядка, коэффициент корреляции между рядами yt и yt-2. Отметим, что расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка уже будет производиться по 14 парам наблюдений. Составим таблицу для расчета коэффициента автокорреляции 2-го порядка (таб. 9.10):
Таблица 9.10
| t | yt | yt-2 |  |  |  |  |  |
| 6,0 | – | – | – | – | – | – | |
| 4,4 | – | – | – | – | – | – | |
| 5,0 | 6,0 | -2,600 | -1,071 | 2,786 | 6,760 | 1,148 | |
| 9,0 | 4,4 | 1,400 | -2,671 | -3,740 | 1,960 | 7,137 | |
| 7,2 | 5,0 | -0,400 | -2,071 | 0,829 | 0,160 | 4,291 | |
| 4,8 | 9,0 | -2,800 | 1,929 | -5,400 | 7,840 | 3,719 | |
| 6,0 | 7,2 | -1,600 | 0,129 | -0,206 | 2,560 | 0,017 | |
| 10,0 | 4,8 | 2,400 | -2,271 | -5,451 | 5,760 | 5,159 | |
| 8,0 | 6,0 | 0,400 | -1,071 | -0,429 | 0,160 | 1,148 | |
| 5,6 | 10,0 | -2,000 | 2,929 | -5,857 | 4,000 | 8,577 | |
| 6,4 | 8,0 | -1,200 | 0,929 | -1,114 | 1,440 | 0,862 | |
| 11,0 | 5,6 | 3,400 | -1,471 | -5,003 | 11,560 | 2,165 | |
| 9,0 | 6,4 | 1,400 | -0,671 | -0,940 | 1,960 | 0,451 | |
| 6,6 | 11,0 | -1,000 | 3,929 | -3,929 | 1,000 | 15,434 | |
| 7,0 | 9,0 | -0,600 | 1,929 | -1,157 | 0,360 | 3,719 | |
| 10,8 | 6,6 | 3,200 | -0,471 | -1,509 | 10,240 | 0,222 | |
| Среднее | 106,4 | -31,120 | 55,760 | 54,049 |
По данным таблицы находим
, 
.
Используя формулу (9.15), находим
.
Аналогичным образом рассчитываем коэффициенты автокорреляции 3-го и более высоких порядков. (Заметим, что в программе Exel коэффициенты корреляции рассчитываются при помощи функции КОРРЕЛ). В результате получим автокорреляционную функцию исходного временного ряда. Ее значения и коррелограмма приведены в таб. 9.11.
Таблица 9.11
| Лаг | Коэффициент автокорреляции уровней временного ряда | Коррелограмма |
| 0,1651548 |  | |
| -0,5668734 | ||
| 0,1135581 | ||
| 0,9830252 | ||
| 0,1187113 | ||
| -0,7220463 | ||
| -0,0033676 | ||
| 0,9738481 |
Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. рис. 9.1).
Рис. 9.4
Пример 9.3. Инвестиции в основной капитал России за 1996-1999 гг. характеризуется следующими данными:
Таблица 9.12
| Номер квартала | Год | Инвестиции, трлн. руб. | Номер квартала | Год | Инвестиции, трлн. руб. |
| 57,8 | 71,9 | ||||
| 75,2 | 83,9 | ||||
| 85,2 | 107,1 | ||||
| 157,8 | 139,5 | ||||
| 73,2 | 95,2 | ||||
| 85,4 | 127,0 | ||||
| 108,9 | 182,6 | ||||
| 141,3 | 254,5 |
Построить автокорреляционную функцию временного ряда.
Решение. Из рис. 9.5 видно, что ряд развивается периодически: рост инвестиций в начале года и спад их в I квартале, т.е. повторение движения уровней ряда из года в год с лагом в четыре квартала.
Рис. 9.5
Эту же величину подтверждает и автокорреляционная функция:
Таблица 9.13
| Лаг | Коэффициент автокорреляции уровней временного ряда | Коррелограмма |
| 0,470592 |  | |
| 0,037307 | ||
| 0,028097 | ||
| 0,702999 | ||
| -0,05731 | ||
| -0,2916 | ||
| -0,04014 | ||
| 0,747767 | ||
| 0,121037 | ||
| -0,07538 | ||
| 0,178292 | ||
| 0,953762 |
Коэффициенты автокорреляции систематически возрастают через интервал лага, равный четырём. Вместе с тем следует иметь в виду, что при увеличении лага уменьшается число наблюдений, на которых базируется значение коэффициента автокорреляции. Поэтому коэффициенты автокорреляции высоких порядков оказываются менее сопоставимыми и менее надёжными, чем коэффициенты автокорреляции с меньшей величиной лага. Так в нашем примере r12=0,953762 базируется всего на четырёх наблюдениях, и на его величине вряд ли можно придавать особое экономическое значение: он приведён только для подтверждения вывода, что коэффициенты автокорреляции приобретают существенные значения лишь при интервале запаздывания, кратном четырём.