Тема 1.3. Случайная величина, ее числовые характеристики

Образцы решения

Пример 12. В партии 10% нестандартных деталей. Наугад отобраны 4 детали. Написать биноминальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения.

Вероятность появления нестандартной детали в каждом случае равна 0,1.

Найдем вероятности того, что среди отобранных деталей:

1) Вообще нет нестандартных.

2) Одна нестандартная.

3) Две нестандартные детали.

4) Три нестандартные детали.

5) Четыре нестандартных детали.

Построим многоугольник распределения.

Пример 13. Закон распределения случайной величины имеет вид:

X
p	0,0625	0,375	0,5625

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины равно:

Возможные значения квадрата отклонения:

Тогда

[X-M(X)]2	2,25	0,25	0,25
p	0,0625	0,375	0,5625

Дисперсия равна:

.

1. Даны вероятности значений случайной величины Х: значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 - вероятность 0,4; значение 8 - вероятность 0,1; значение 4 - вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины Х.

2. Дан ряд распределения случайной величины Х:

хi
pi	0,2	0,3	0,35	0,1	0,05

3. Найти функцию распределения вероятности этой случайной величины.

В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Наудачу достают шары по одному без возвращения до тех пор, пока не появится белый шар. Дискретная случайная величина Х – число испытаний, проведённых при этом. Составить таблицу распределения Х, найти М(Х) и Д(Х).

4. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Наудачу достают шары по одному до тех пор, пока не появится белый шар, причём каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Дискретная случайная величина Х – число испытаний, проведённых при этом. Составить таблицу распределения Х, найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию Д(Х).

5. Два стрелка независимо друг от друга ведут стрельбу по цели. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7; для второго – 0,9. Составить таблицу распределения числа попаданий в мишень, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу. Найти математическое ожидание и функцию распределения этой случайной величины.

6. Найти у

Х
Р	0,1	у	0,2	0,4

7. D(X) = 1.5. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+5).

8. Вероятность появления события в одном испытании равна 0,6. Производится 5 испытаний. Составить закон распределения случайной величины Х – числа появлений события. Найти , , , .

9. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого равна 0,6, второго 0,8. Составить закон распределения числа попаданий Х. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, третий центральный момент и функцию распределения. Построить график .

10. В ящике 3 белых шара и 4 черных. Шары достают до тех пор, пока не появится белый шар. Составить закон распределения случайной величины Х – числа испытаний. Найти , , .

11. По таблице распределения Х:

Х	-2
Р	0,2	0,1	0,3	0,2	0,2

Найти , , . Найти .

12. Найти у

Х
Р	0,2	0,1	0,6	у

13. X и Y – независимы. D(X) =7, D(Y) =4. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+3Y).

14. Производится три независимых опыта, в каждом из которых может произойти событие А с вероятностью 0,4. Вычислить таблицу для случайной величины Х – числа появлений события А. Найти , , , и .

15. Игральный кубик брошен один раз. Найти закон распределения случайной величины Х – числа выпавших очков. Найти , , , функцию распределения. Построить график .

16. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует патроны). Найти математическое ожидание и дисперсию числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,25.

17. Найти , , функцию распределения дискретной случайной величины, заданной таблицей:

Х
Р	0,3	0,1	0,3	0,2	0,1

18. Найти у

Х	-2	-1
Р	0,5	у	0,1	0,3

19. M(X) = 6, M(Y) = 3. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X - 3Y).

20. Вероятность выигрыша одного лотерейного билета равна 0,2. Составить таблицу распределения случайной величины Х – числа выигрышей для владельца трех лотерейных билетов. Найти , , , .

21. Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Вычислить таблицу случайных величин – число бросков каждого баскетболиста, если вероятность попадания первого равна 0,4, а второго – 0,6.

22. В ящике 3 белых шара и 6 черных. Шары достают до тех пор, пока не появится белый шар. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа испытаний. Найти , , и .

23. Случайная величина Х задана таблицей распределения

Х	-1
Р	0,2	0,3	0,4	0,1

Найти третий начальный и центральный момент и функцию распределения.

24. Найти у

Х	-1	-0,5		0,5
Р	0,1	0,2	у	0,2	0,1

25. M(X) =4.5. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X+5).

26. Составить закон распределения случайной величины Х числа попаданий при четырех выстрелах, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Найти и построить график Вероятность попадания в мишень для данного стрелка при одном выстреле равна 0,7. Составить закон распределения случайной величины Х – числа попаданий при трех выстрелах. Найти , , , .

27. В урне 3 белых и 2 черных шара. Наудачу достают шары по одному без возвращения, до тех пор, пока не появится белый шар. Дискретная случайная величина Х – число испытаний, проведенных при этом. Составить таблицу распределения Х, найти , и .

28. В лотерее 100 билетов. Разыгрывается 8 вещей по 5 р., 4 вещи по 10 р. и одна по 20 р. Составить закон распределения суммы выигрыша для владельца лотерейного билета. Найти , , функцию распределения. Нарисовать ее график.

29. Найти математическое ожидание и дисперсию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения дискретной случайной величины по следующей таблице:

Х
Р	0,3	0,1	0,3	0,2	0,1

30. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения непрерывной случайной величины, ответ обосновать

1)	2)
3)	4)

31. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение. Построить графики функций плотности и функции распределения.

32. Случайная величина задана плотностью распределения . Найти коэффициент С, математическое ожидание и дисперсию. Найти .

33. Случайная величина задана плотностью распределения . Найти коэффициент С, математическое ожидание и дисперсию. Найти .

34. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке от [0,6]. Написать выражение плотности. Найти , и .

35. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами Написать выражение плотности распределения, нарисовать график плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу , а также вероятность неравенства .

36. Какой из этих графиков может соответствовать функции плотности распределения случайной величины, ответ обосновать

1)	2)
3)	4)

37. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение. Построить графики функций плотности и функции распределения.

38. Случайная величина задана плотностью распределения . Найти коэффициент С, математическое ожидание и дисперсию. Найти .

39. Случайная величина задана плотностью распределения . Найти коэффициент С, математическое ожидание и дисперсию. Найти .

40. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке от [2,6]. Написать выражение плотности и функции распределения. Найти .

41. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами Написать выражение плотности распределения, нарисовать график плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу , а также вероятность неравенства .

42. Какой из этих графиков может соответствовать функции распределения случайной величины, ответ обосновать

1)	2)
3)	4)

43. Задана функция распределения случайной величины Х. Требуется найти плотность распределения, математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение. Построить графики функций плотности и функции распределения.

44. Случайная величина задана плотностью распределения . Найти коэффициент С, математическое ожидание и дисперсию. Найти .

45. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром . Написать выражение плотности и функции распределения.

46. Случайная величина Х равномерно распределения на отрезке [-2;2]. Найти , , .

47. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами Написать выражение плотности распределения, нарисовать график плотности. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу , а также вероятность неравенства .