Теоретические основы анализа временных рядов

СОДЕРЖАНИЕ

Введение …………………………………………………………………………..4

1. Теоретические основы анализа временных рядов……………………….......5

2. Эконометрическое моделирование социально-экономических показателей с использованием MS Excel……………………………………………………..23

2.1. Методы сглаживания временных рядов…………………………………...23

2.2. Моделирование тенденции временного ряда……………………………..39

2.3. Моделирование сезонных и циклических колебаний…………………….45

Список литературы………………………………………………………………60

ВВЕДЕНИЕ

Современные экономические условия открывают широкий простор для применения эконометрических методов, которые позволяют не только провести необходимые расчеты, но и выработать оптимальные правила действий. Эконометрические модели – важный класс моделей, с помощью которых описываются явления, в которых присутствуют статистические факторы, не позволяющие объяснить явление в чисто детерминированных терминах. Типичные примеры такого рода моделей представляют временные ряды в экономике и финансовой сфере, имеющие тренд – циклическую компоненту и случайную составляющую.

Данное учебное пособие посвящено анализу и прогнозированию временных рядов в табличном процессоре Microsoft Excel. Пособие состоит из двух взаимосвязанных и взаимодополняющих друг друга частей: теоретической, в которой изложены основные идеи, методы и результаты теории анализа и прогнозирования, и практической, в которой подробно описано прогнозирование в табличном процессоре Microsoft Excel. Совмещение двух частей пособия должно привести к тому, что будут осваиваться методы и приемы прогнозирования: от знакомства с математическими основами до приобретения практических навыков.

В руководстве дается подробное техническое описание диалоговых окон и терминов, используемых для анализа и прогнозирования временных рядов в табличном процессоре Microsoft Excel. Подробно разбираются примеры прогнозирования реальных и модельных данных.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Одной из важнейших задач эконометрики является изучение анализируемых показателей во времени, что решается при помощи анализа временных рядов. Временной ряд представляет собой ряд расположенных в хронологической последовательности числовых значений статистического показателя, характеризующих изменение общественных явлений во времени. Как правило, составляющие временной ряд числа – элементы временного ряда, - нумеруют в соответствии с номером момента времени, к которому они относятся (например, у₁, у₂, у₃ и т.д.). Таким образом, порядок следования элементов временного ряда весьма существенен.

Понятие временного ряда часто толкуют расширительно. Например, одновременно могут регистрироваться несколько характеристик упомянутого процесса. В этом случае говорят о многомерных временных рядах. Если измерения производятся непрерывно, говорят о временных рядах с непрерывным временем или случайных процессах. Наконец, текущая переменная может иметь не временной, а какой-нибудь иной характер, например пространственный (тогда говорят о случайных полях).

Почти в каждой области знания встречаются явления, которые важно изучать в развитии во времени или в пространстве. И почти всегда в закономерное течение явления вмешивается случай в виде случайных импульсов, случайных помех, случайных ошибок и т.д. Поэтому изучение временных рядов – это составная часть прикладной статистики (и довольно важная её часть).

Данные типа временных рядов широко распространены в самых различных областях человеческой деятельности. В экономике это ежедневные цены на акции, курсы валют, еженедельные и месячные объемы продаж, годовые объемы производства и т.п. В метеорологии типичными временными рядами являются ежедневная температура, месячные объемы осадков, в гидрологии – периодически измеряемые уровни воды в реках. В технике временные ряды возникают в результате отслеживания различных параметров технологических процессов.

а

б

г

в

д

Рисунок 1 – а) Сальдо прибылей и убытков организаций (без субъектов малого предпринимательства) по Российской Федерации; б) Средневзвешенные ставки по кредитам, предоставленным нефинансовым организациям; в) Динамика инвестиций в основной капитал; г) Динамика производства по виду деятельности «Производство и распределение электроэнергии, газа и воды»; д) Аддитивный белый гауссовский шум

На рисунке 1 приведены примеры различных временных рядов (для наглядности последовательные измерения, составляющие временной ряд, на графиках соединены линиями), рассматриваемыми в литературе (1, 5, 9, 15).

Видно, что поведение временных рядов может быть весьма различным. Так, сальдо прибылей и убытков (ряд а)) имеет, скорее всего, линейный тренд, отклонения от которого имеют сложную статистическую структуру, требующую дополнительного анализа. Средневзвешенные ставки по кредитам (ряд б)) также содержит линейный тренд, отклонения от которого можно считать независимыми случайными величинами. График динамики инвестиций в основной капитал (ряд в)) содержит явно повторяющиеся годовые циклы с возрастающей амплитудой. Динамика производства по виду деятельности (ряд г)) имеет ясные сезонные циклы. Ряд д) создан датчиком нормальных случайных чисел на компьютере и служит примером чисто случайного процесса без внутренних закономерностей и зависимостей.

Чаще всего значения временного ряда получаются непосредственной записью значений некоторого процесса через определенные промежутки времени. Например, если каждый день регистрировать численность работающих, то получится временной ряд со значениями на каждый день на данном предприятии. Иногда значения элементов временного ряда получаются накапливанием некоторых данных за определенный промежуток времени (например, суммарное число посетителей магазина за день), усреднением (средняя заработная плата за месяц) и т.д.

Наука об исследованиях временных рядов – анализ временных рядов, - образует самостоятельную и весьма обширную область статистики.

Временные ряды, возникающие в экономике, имеют различную природу, поэтому для их изучения оказались эффективными разные методы. Анализ временных рядов превратился в разветвленную науку, и в теории анализа временных рядов следующие их виды можно рассматривать как самостоятельный раздел.

· стационарные случайные процессы, то есть последовательности случайных величин, вероятностные свойства которых не изменяются во времени и процесс находится в определенном статическом равновесии;

· диффузионные процессы возникли при изучении процесса диффузии, то есть взаимопроникновения различных жидкостей или газов. Эти процессы используются при построении моделей непрерывных процессов, в которых существенна случайная составляющая;

· точечные процессы используют для описания таких явлений, как поступление вызовов или заявок на обслуживание, моментов несчастных случаев, стихийных и техногенных катастроф, каких-либо приметных явлений и т.п. Они широко применяются в таких разделах статистики, как теория очередей, теория массового обслуживания и т.д.

Чаще всего при изучении временных рядов ставятся следующие цели:

· краткое (сжатое) описание характерных особенностей ряда;

· подбор статистической модели (моделей), описывающей временной ряд;

· предсказание будущих значений на основе прошлых наблюдений;

· управление процессом, порождающим временной ряд.

При практическом анализе временных рядов последовательно проходят следующие этапы (стадии анализа временных рядов):

· графическое представление и описание поведения временного ряда;

· выделение и удаление закономерных составляющих временного ряда, зависящих от времени: тренда, сезонных и циклических составляющих;

· выделение и удаление низко- или высокочастотных составляющих процесса (фильтрация);

· исследование случайной составляющей временного ряда, оставшейся после удаления перечисленных выше составляющих;

· построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка её адекватности;

· прогнозирование будущего развития процесса, представленного временным рядом;

· исследование взаимодействий между различными временными рядами.

Для решения указанных выше задач предлагается большое количество различных методов и наиболее распространенные из них:

· корреляционный анализ позволяет выявить существенные периодические зависимости и их лаги (задержки) внутри одного процесса (автокорреляция) или между несколькими процессами (кросскорреляция);

· спектральный анализ позволяет находить периодические и квазипериодические составляющие временного ряда;

· сглаживание и фильтрация предназначены для преобразования временных рядов с целью удаления из них высокочастотных или сезонных колебаний;

· модели авторегрессии и скользящего среднего оказываются особенно полезными для описания и прогнозирования процессов, проявляющих однородные колебания вокруг среднего значения;

· прогнозирование позволяет на основе подобранной модели поведения временного ряда предсказывать его значения в будущем.

При анализе временного ряда видимую его изменчивость стараются разделить на закономерную и случайную составляющие. Закономерные изменения членов временного ряда, как правило, предсказуемы. Эта составляющая у_t может быть вычислена при каждом t как некоторая функция от текущего момента t. Эта функция может зависеть, помимо t, также от некоторого набора параметров. Когда эти параметры неизвестны, их приходится оценивать по имеющимся наблюдениям – как, например, бывает в случае регрессии. Изменчивость, оставшаяся необъясненной, иррегулярна и хаотична. Для её описания необходим статистический подход (за неимением лучшего).

Под закономерной (детерминированной) составляющей временного ряда у₁,…, у_n понимается числовая последовательность d_1,…, d_n, элементы которой d_t вычисляются по определенному правилу как функция времени t.

Детерминированная составляющая часто отражает действия каких-либо определенных факторов или причин.

Для многих рядов в экономике причины, порождающие их закономерные составляющие, могут не быть столь ясными. Тем не менее, их совокупное влияние может быть устойчивым в течение достаточно длительных промежутков времени. Это обеспечивает возможность прогноза для подобных временных рядов. Если полностью выявить закономерную составляющую в поведении временного ряда, то оставшаяся часть будет выглядеть хаотично и непредсказуемо. Ее обычно именуют иррегулярной, или случайной компонентой временного ряда и обозначают эту случайную компоненту через ε₁, ε₂, …, ε_n.

Для описания и анализа детерминированной и случайной компоненты временных рядов обычно используют аддитивную и мультипликативную модель, которые представляют собой формы разложения (декомпозиции) временного ряда на детерминированную и случайную компоненты и могут различаться.

Аддитивной моделью временного ряда называется представление ряда в виде суммы детерминированной и случайной компонент, а именно:

Y = D + E (1)

или y_{t =} d_t + ε_t ,

где t = 1, …, n.

Мультипликативной моделью временного ряда называется представление ряда в виде произведения детерминированной и случайных компонент, а именно:

Y = D ∙ E (2)

или y_t = d_t ∙ ε_t ,

где t = 1, …, n.

Мультипликативные модели часто бывают удобны при анализе экономических временных рядов.

Способы описания детерминированных компонент временного ряда сильно зависят от области приложений. При выборе модели детерминированной компоненты должны, прежде всего, учитываться содержательные соображения, то есть те объективные факторы и закономерности, которые приводят к ее формированию. В экономических (и многих других) приложениях в детерминированной компоненте временного ряда d_t обычно выделяют три составляющих части: тренд t_t, сезонную компоненту s_t и циклическую компоненту c_t. Аддитивная модель временного ряда может быть записана:

d_t = t_t + s_t + c_t , (3)

где t = 1, …, n.

Анализ временного ряда обычно начинается с выделения тренда. Его присутствие или отсутствие наглядно показывает график временного ряда. Выделение тренда позволяет перейти к дальнейшей идентификации других компонент ряда.

Трендом временного ряда t_t при t = 1, …, n называют плавно изменяющуюся, не циклическую компоненту, описывающую чистое влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно.

В экономике к таким факторам можно отнести:

· изменение демографических характеристик популяции, включая рост населения, изменение структуры возрастного состава, изменение географического расселения и т.д.;

· технологическое и экономическое развитие;

· рост потребления и изменение его структуры.

Сезонная компонента отражает присущую миру и человеческой деятельности повторяемость процессов во времени. Она часто присутствует в экономических и других временных рядах. Сезонная компонента чаще всего служит главным источником краткосрочных колебаний временного ряда, так что ее выделение заметно снижает вариацию остаточных компонент.

Сезонная компонента s_t временного ряда при t = 1, …, n описывает поведение, изменяющееся регулярно в течение заданного периода (года, месяца, недели, дня и т.п.). Она состоит из последовательности почти повторяющихся циклов.

Главная идея подхода к анализу сезонных компонент заключается в переходе от сравнения всех значений временного ряда между собой к сравнению значений через определенный период времени. Это позволяет заметно снизить оценку вариации временного ряда около своего среднего значения. Так, при изучении динамики месячных объемов продаж за несколько лет данные декабря одного года обычно сравнивают с данными декабря предыдущего года, а не с данными других месяцев рассматриваемого года.

Циклическая компонента занимает как бы промежуточное положение между закономерной и случайной составляющими временного ряда. Если тренд – это плавные изменения, проявляющиеся на больших временных промежутках, если сезонная компонента – это периодическая функция времени, ясно видимая, когда ее период много меньше общего времени наблюдений, то под циклической компонентой обычно подразумевают изменения временного ряда, достаточно плавные и заметные для того, чтобы не включать их в случайную составляющую, но такие, которые нельзя отнести ни к тренду, ни к периодической компоненте.

Циклическая компонента c_t временного ряда описывает длительные периоды относительного подъема и спада. Она состоит из циклов, которые меняются по амплитуде и протяженности.

Изучение циклической компоненты полезно для прогнозирования (особенно краткосрочного). Методы определения циклической компоненты в экономических временных рядах и связанные с ней индексы деловой активности относится к эконометрии.

К простейшим моделям тренда при анализе экономических временных рядов относятся:

· простая линейная модель t_t = b₀ + b₁∙t (4)

Ее преимущества: во-первых, простота, во-вторых, широкое использование во многих реальных задачах. Если нелинейный характер тренда очевиден, то может подойти одна из следующих моделей:

· полиномиальная: t_t = b₀ + b₁t + b₂t² + … + b_ntⁿ , (5)

где значение степени полинома n в практических задачах редко превышает 5;

· логарифмическая: t_t = exp(b₁ + b₁t). (6)

Эта модель чаще всего применяется для данных, имеющих тенденцию сохранять постоянные темпы прироста;

· логистическая: t_t = a/(1 + b ∙ e^-ct). (7)

· Гомперца: log(t_t) = a – b ∙ r^t, (8)

где 0 < r < 1.

Две последние недели задают кривые тренда S-образной формы. Они соответствуют процессам с постепенно возрастающими темпами роста в начальной стадии и постепенно затухающими темпами роста в конце. Необходимость подобных моделей обусловлена невозможностью многих экономических процессов продолжительное время развиваться с постоянными темпами роста или по полиномиальным моделям, в связи с их довольно быстрым ростом (или уменьшением).

Практический опыт показывает, что обычно временной ряд не удается полностью описать одной лишь детерминированной компонентой. В нем, как правило, присутствует и нерегулярная, случайная компонента. Ее поведение нельзя точно предсказать заранее. Для ее описания приходится привлекать понятия из теории вероятностей.

Для описания нерегулярной компоненты и всего временного ряда в целом используют понятие случайного (стохастического) процесса или случайной последовательности.

Случайным процессом X(t), заданном на множестве T, называют функцию от t, значение которой при каждом t T является случайной величиной.

Говорят, что случайный процесс X(t) задан, если для каждого t из T определена функция распределения величины X(t):

F_t(x) = P(X(t) ≤ x) , (9)

для каждой пары элементов t₁, t₂ из T определена функция распределения двумерной случайной величины (X(t₁), X(t₂))

F_t1t2 (x₁x₂) = P(X(t₁) ≤ x₁, X(t₂) ≤ x₂). (10)

и вообще для любого конечного числа элементов t₁, t₂, …, t_n из множества T определена n-мерная функция распределения величины (X(t₁), X(t₂), …, X(t_n))

F_t1t2…tn (x_1,x_{2, …,} x_n) = P(X(t₁) ≤ x₁, X(t₂) ≤ x₂, …, X(t_n) ≤ x_n). (11)

При этом распределения должны быть согласованы в том смысле, что «старшие» распределения определяют «младшие». Полученные функции называют конечномерными распределениями случайного процесса.

На практике общее определение случайного процесса используется редко. Чаще случайные процессы задают с помощью предположений типа независимости приращений и т.д.

Временные ряды характеризуются числовыми характеристиками, к которым относятся:

Математическое ожидание (первый момент) случайного процесса X(t) – это функция m(t), такая, что для каждого t значение функции m(t) является математическим ожиданием случайной величины X(t).

m(t) = M(X(t)) (12)

Функцию m(t) часто называют средним значением процесса X(t). Она используется для описания систематического процесса.

Ковариационная функция случайного процесса X(t)

B(s,t) = cov(X(t), X(s)) = M[(X(t) – m(t)(X(s) – m(s))]. (13)

Она является функцией пары переменных (t, s). Иногда ее именуют функцией вторых центральных моментов (дисперсия).

Значение ковариационной функции при t = s задает дисперсию случайного процесса DX(t) = cov(X(t), X(t)). Квадратный корень из cov(X(t), X(t)) называют стандартным отклонением σ(t) случайного процесса X(t)

(14)

Корреляционная функция случайного процесса X(t) – это

(15)

Как и ковариационная функция, корреляционная функция также зависит от пары переменных (t, s).

Автокорреляционная функция стационарного процесса X(t) представляет собой функцию

r(k) = corr(X(t), X(t + k)) , (16)

где k > 0 – целое число.

Величину k часто называют задержкой или лагом. Она указывает расстояние между членами временного ряда, для которых вычисляется коэффициент корреляции.

Практический анализ временных рядов осуществляется в следующем порядке:

1. Построение и изучение графика. Анализ временного ряда обычно начинается с построения и изучения его графика. Если нестационарность временного ряда очевидна, то первым делом надо выделить и удалить нестационарную составляющую ряда. Процесс удаления тренда и других компонент ряда, приводящих к нарушению стационарности, может проходить в несколько этапов. На каждом из них рассматривается ряд остатков, полученный в результате вычитания из исходного ряда подобранной модели тренда, или результат разностных и других преобразований ряда. Кроме графиков, признаками нестационарности временного ряда могут служить не стремящаяся к нулю автокорреляционная функция (за исключением очень больших значений лагов) и наличие ярко выраженных пиков на низких частотах в периодограмме.

Табличное представление временного ряда и описательные статистики чаще всего не позволяют понять характер процесса, в то время как по графику временного ряда можно сделать довольно много выводов, которые в дальнейшем могут быть проверены и уточнены с помощью расчетов. По графику временного ряда определяется:

· наличие тренда и его характер;

· наличие сезонных и циклических компонент;

· степень плавности или прерывистости изменений последовательных значений ряда после устранения тренда. По этому показателю можно судить о характере и величине корреляции между соседними элементами ряда.

Построение графика временного ряда – не такая простая задача, как это кажется на первый взгляд. Современный уровень анализа временных рядов предполагает использование той или иной компьютерной программы для построения их графиков и всего последующего анализа, но даже при их использовании могут возникать различные проблемы, например:

· из-за ограниченности разрешающей способности экранов компьютеров размеры выводимых графиков могут быть также ограничены;

· при больших объемах анализируемых рядов точки на экране, изображающие наблюдения временного ряда, могут превратиться в сплошную черную полосу.

Для борьбы с этими затруднениями используются различные способы. Наличие в графической процедуре режима «лупы» или «увеличения» позволяет изобразить более крупно выбранную часть ряда, однако при этом становится трудно судить о характере поведения ряда на всем анализируемом интервале. Приходится распечатывать графики для отдельных частей ряда и состыковывать их вместе, чтобы увидеть картину поведения ряда в целом. Иногда для улучшения воспроизведения длинных рядов используется прореживание, то есть выбор и отображение на графике каждой второй, пятой, десятой и т.д. точки временного ряда. Эта процедура позволяет сохранить целостное представление ряда и полезна для обнаружения трендов. На практике полезно сочетание обеих процедур.

Несколько полезных советов по построению и оформлению графика временного ряда:

· внимательно следите за масштабом представления данных по каждой из осей, так как они, как правило, различаются. Многие программы автоматически используют экспоненциальную форму записи для обозначения делений осей, например 0.241Е + 03 вместо 241, что не всегда удобно и оправданно;

· не забывайте указывать, какие величины отображает каждая из осей и их единицы измерения. Это особенно важно при представлении экономических временных рядов, где наряду с равномерными шкалами часто используются логарифмические шкалы;

· точки на графике временного ряда обычно соединяют отрезками прямых линий. Однако в некоторых ситуациях эти линии могут вносить существенное искажение в представление о поведении ряда. Поэтому полезно построить график временного ряда с линиями между точками и без них, и внимательно изучить оба этих графика;

· наличие не слишком густой координатной сетки облегчает восприятие графиков.

При анализе временных рядов часто используются вспомогательные графики для числовых характеристик ряда:

· график выборочной автокорреляционной функции (коррелограммы) с доверительной зоной (трубкой) для нулевой автокорреляционной функции;

· график выборочной частной автокорреляционной функции с доверительной зоной для нулевой частной автокорреляционной функции;

· график периодограммы.

Первые два из этих графиков позволяют судить о связи (зависимости) соседних значений временного ряда, они используются при подборе параметрических моделей авторегрессии-скользящего среднего. График периодограммы позволяет судить о наличии гармонических составляющих во временном ряде.

2. Подбор модели для временного ряда. После того, как исходный процесс максимально приближен к стационарному, можно приступить к подбору различных моделей полученного процесса. Цель этого этапа – описание и учет в дальнейшем анализе корреляционной структуры рассматриваемого процесса. При этом на практике чаще всего используются два типа моделей: параметрические модели авторегрессии-скользящего среднего (ARIMA-модели) и полигармонические модели.

После подбора модели обычно выполняются:

· оценка дисперсии остатков, которая в дальнейшем может быть использована для построения доверительных интервалов прогноза;

· анализ остатков с целью проверки адекватности модели.

Методы сведения временных рядов к стационарности:

1) Выделение тренда.

Для оценки и удаления трендов из временных рядов чаще всего используется метод наименьших квадратов. Значения временного ряда y_t рассматриваются как отклик (как зависимую переменную), а время t – как фактор, влияющий отклик (независимую переменную):

y_t1 = f(t_i, θ) + ε_i , (17)

где i = 1, …, n,

f – функция тренда (она обычно предполагается гладкой),

θ – неизвестные нам параметры (параметры модели временного ряда),

ε_i – независимые и одинаково распределенные случайные величины, распределение которых мы предполагаем нормальным.

Метод наименьших квадратов состоит в том, что мы выбираем функцию тренда так, чтобы

. (18)

Для временных рядов типично, что статистические предпосылки регрессионного анализа выполняются не полностью. Это особенно касается предположения о независимости случайных отклонений. Оценки тренда в этих условиях обычно оказываются разумными, если выбрана адекватная модель тренда и если среди наблюдений нет выбросов, существование которых оценивается на основе графика остатков временного ряда.

Кроме метода наименьших квадратов, для удаления тренда можно использовать и метод перехода от исходного ряда к ряду разностей соседних значений ряда. Процедура перехода от ряда x_t при t = 1, …, n к ряду

при t = 2, …, n называется взятием первых разностей, а оператор называется простым разностным оператором первого порядка.

2) Выделение сезонных и циклических компонент.

Для выделения и устранения сезонных и циклических компонент существует несколько способов, выбор которых зависит от модели подбираемого временного ряда. Две наиболее распространенные модели описания экономических временных рядов.

Первая из них включает в себя тренд (t_t), сезонную (s_t) и случайную (ε_t) компоненты:

y_t = t_t + s_t + ε_t (19)

Вторая модель кроме перечисленных выше компонент, включает еще и циклическую компоненту (c_t):

y_t = tr_t + s_t + ε_t + c_t (20)

Как было показано выше, сначала оценивается тренд t_t с помощью метода наименьших квадратов или его модификаций. Затем для каждого сезона i, 1 ≤ i ≤ p, рассматриваются все относящиеся к нему разности

, , ……, , (21)

каждое из этих отклонений можно рассматривать как результат влияния сезонных колебаний.

Если это необходимо сезонную компоненту удаляют. В аддитивных моделях легко провести удаление этих эффектов из рассматриваемого ряда, вычитая их из начальных значений ряда. Подобная процедура часто носит название сезонного выравнивания или сезонной коррекции ряда. Еще одно название этой процедуры – сезонная декомпозиция. Для мультипликативной модели эта процедура сводится к делению исходных значений ряда на соответствующие сезонные индексы и умножению на 100%.

Оценить тренд и циклическую компоненту можно с помощью скользящего среднего.

Метод скользящих средних – один из самых широко известных способов сглаживания временного ряда. Он основан на переходе от начальных значений ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого выбрана заранее. При этом сам выбранный интервал времени скользит вдоль ряда.

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, за счет усреднения отклонений исходного ряда. Таким образом, эта процедура дает представление об общей тенденции поведения ряда. Ее применение особенно полезно для рядов с сезонными колебаниями и неясным характером труда. В частности, перехода к ряду скользящих средних может быть использован для выявления сезонной компоненты (или сезонного индекса) временного ряда.

Применяя метод скользящих средних, можно использовать различные виды усреднения значений ряда: среднее арифметическое (простое или с некоторыми весами), медианы и др. К сглаживанию с помощью медианы (медианное сглаживание) прибегают тогда, когда среди наблюдений есть выбросы.

Удаление циклической компоненты проводится так же, как и сезонной. Для аддитивной модели удаление циклической компоненты сводится к вычитанию оцененной сезонной компоненты из исходного ряда. Для мультипликативной модели эта процедура заключается в делении значений исходного ряда на соответствующие сезонные индексы.

3. Прогнозирование или интерполяция. Последним этапом анализа временного ряда может быть прогнозирование его будущих (экстраполяция) или восстановление пропущенных (интерполяция) значений и указания точности этого прогноза на базе подобранной модели. Обратим внимание, что хорошо подобрать математическую модель удается не для всякого временного ряда. Нередко бывает и так, что для описания подходят сразу несколько моделей. Неоднозначность подбора модели может наблюдаться как на этапе выделения детерминированной компоненты ряда, так и при выборе структуры ряда остатков. Поэтому исследователи довольно часто прибегают к методу нескольких прогнозов, сделанных с помощью разных моделей.

После удаления детерминированной компоненты временной ряд должен свестись к стационарному процессу. Так что следующим шагом после выделения детерминированной компоненты должен быть анализ остатков, то есть изучение ряда, полученного из исходного временного ряда после исключения детерминированной компоненты. При этом ставятся следующие цели:

· описание ряда с помощью той или иной модели, которая отражает зависимость между его соседними элементами. На базе построенной модели можно осуществлять прогноз будущего поведения ряда.

· уточнение оценки дисперсии ряда. Эта оценка важна для прогнозирования, так как исходя из нее вычисляется ширина доверительных интервалов прогноза.

· проверка стационарности остатков (при нестационарности подбор детерминированной компоненты нуждается в уточнении).

В качестве модели стационарных временных рядов чаще всего используются процессы авторегрессии, скользящего среднего и их комбинации. Для проверки стационарности ряда остатков и оценки его дисперсии на практике чаще всего используются выборочная автокорреляционная (коррелограмма) и частная автокорреляционная функция.

Таким образом, перечислим основные группы статистических приемов, используемых для анализа временных рядов:

· графические методы представления временных рядов и их сопутствующих числовых характеристик;

· методы сведения к стационарным процессам;

· методы исследования внутренних связей между элементами временных рядов.