Автокорреляция. Пример решения

Для выявления структуры ряда (т. е. состава компонент) строят автокорреляционную функцию.

Автокорреляция уровней ряда – корреляционная между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L – лаг). То есть связь между рядом: Х₁, Х₂, ... Х_n-L и рядом Х_1+L, Х_2+L, ... Х_n, где L – положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка r_t,t-1. Если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка r_t,t-2 и т.д.

Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (I), при котором автокорреляция (r_t,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда.

Если наиболее высоким оказывается значение r_t,t-1, то исследуемый ряд додержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался r_t,t-L, то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом L.

Если ни один из r_t,t-L (l=1;L) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

• либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

• либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой.

Чтобы найти коэффициент корреляции 1-го порядка, нужно найти корреляцию между рядами (расчет производится не по 14, а по 13 парам наблюдений):

Два важных свойства коэффициента автокорреляции:

1) Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. По-этому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

2) По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровней. Получаем следующую таблицу:

y_t	y_{t - 1}
3.18	4.31
4.31	5.66
5.66	6.89
6.89	9.47
9.47	12.34
12.34	14.36
14.36	18.08
18.08	20.63
20.63	24.3
24.3	30.2
30.2	37.04
37.04	43.81
43.81	48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка.

Параметры уравнения авторегрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r_t,t-1:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r_t,t-1 < 0.3: слабая;

0.3 < r_t,t-1 < 0.5: умеренная;

0.5 < r_t,t-1 < 0.7: заметная;

0.7 < r_t,t-1 < 0.9: высокая;

0.9 < r_t,t-1 < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между рядами - весьма высокая и прямая.

x	y	x²	y²	x • y
3.18	4.31	10.11	18.58	13.71
4.31	5.66	18.58	32.04	24.39
5.66	6.89	32.04	47.47
6.89	9.47	47.47	89.68	65.25
9.47	12.34	89.68	152.28	116.86
12.34	14.36	152.28	206.21	177.2
14.36	18.08	206.21	326.89	259.63
18.08	20.63	326.89	425.6	372.99
20.63	24.3	425.6	590.49	501.31
24.3	30.2	590.49	912.04	733.86
30.2	37.04	912.04	1371.96	1118.61
37.04	43.81	1371.96	1919.32	1622.72
43.81	48.32	1919.32	2334.82	2116.9
230.27	275.41	6102.65	8427.36	7162.43

Сдвигаем исходный ряд на 2 уровней. Получаем следующую таблицу:

y_t	y_{t - 2}
3.18	5.66
4.31	6.89
5.66	9.47
6.89	12.34
9.47	14.36
12.34	18.08
14.36	20.63
18.08	24.3
20.63	30.2
24.3	37.04
30.2	43.81
37.04	48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка.

Параметры уравнения авторегрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r_t,t-2:

x	y	x²	y²	x • y
3.18	5.66	10.11	32.04
4.31	6.89	18.58	47.47	29.7
5.66	9.47	32.04	89.68	53.6
6.89	12.34	47.47	152.28	85.02
9.47	14.36	89.68	206.21	135.99
12.34	18.08	152.28	326.89	223.11
14.36	20.63	206.21	425.6	296.25
18.08	24.3	326.89	590.49	439.34
20.63	30.2	425.6	912.04	623.03
24.3	37.04	590.49	1371.96	900.07
30.2	43.81	912.04	1919.32	1323.06
37.04	48.32	1371.96	2334.82	1789.77
186.46	271.1	4183.34	8408.79	5916.94

Сдвигаем исходный ряд на 3 уровней. Получаем следующую таблицу:

y_t	y_{t - 3}
3.18	6.89
4.31	9.47
5.66	12.34
6.89	14.36
9.47	18.08
12.34	20.63
14.36	24.3
18.08	30.2
20.63	37.04
24.3	43.81
30.2	48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка.

Параметры уравнения авторегрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r_t,t-3:

x	y	x²	y²	x • y
3.18	6.89	10.11	47.47	21.91
4.31	9.47	18.58	89.68	40.82
5.66	12.34	32.04	152.28	69.84
6.89	14.36	47.47	206.21	98.94
9.47	18.08	89.68	326.89	171.22
12.34	20.63	152.28	425.6	254.57
14.36	24.3	206.21	590.49	348.95
18.08	30.2	326.89	912.04	546.02
20.63	37.04	425.6	1371.96	764.14
24.3	43.81	590.49	1919.32	1064.58
30.2	48.32	912.04	2334.82	1459.26
149.42	265.44	2811.38	8376.75	4840.25

Сдвигаем исходный ряд на 4 уровней. Получаем следующую таблицу:

y_t	y_{t - 4}
3.18	9.47
4.31	12.34
5.66	14.36
6.89	18.08
9.47	20.63
12.34	24.3
14.36	30.2
18.08	37.04
20.63	43.81
24.3	48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 4-го порядка.

Параметры уравнения авторегрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r_t,t-4:

x	y	x²	y²	x • y
3.18	9.47	10.11	89.68	30.11
4.31	12.34	18.58	152.28	53.19
5.66	14.36	32.04	206.21	81.28
6.89	18.08	47.47	326.89	124.57
9.47	20.63	89.68	425.6	195.37
12.34	24.3	152.28	590.49	299.86
14.36	30.2	206.21	912.04	433.67
18.08	37.04	326.89	1371.96	669.68
20.63	43.81	425.6	1919.32	903.8
24.3	48.32	590.49	2334.82	1174.18
119.22	258.55	1899.34	8329.28	3965.71