Средняя арифметическая. Понятие, исчисление, применение.

Если имеются отдельные варианты и надо рассчитать среднюю для них, то надо рассчитать среднюю арифметическую вариантов. Она равна сумме вариантов, поделенной на их число. . Если отдельные варианты встречаются различное число раз или имеют различный вес, то применяется средняя арифметическая взвешанная. Она равна сумме произведений вариантов на частоту делить на сумму частот: /

Пример:

Размер зар. платы	Численность, чел	xf
итого

Средняя з.п.=1180:50=23,6 тыс.руб

Важнейшие свойства средней арифметической:

· Если к каждому варианту прибавить какое-либо произвольное число, то среднее увеличивается на это же число.

· Если от каждого варианта вычесть какое-либо число, то среднее уменьшится на это же число.

· Если каждый вариант умножить на какое-либо число, то среднее уменьшится на это же число.

· Если каждый вариант разделить на какое-либо число, то среднее уменьшится на это же число.

· Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариантов на частоту. Отсюда вытекает, что вычисляя среднюю арифметическую мы уравниваем конкретные варианты, заменяя их одним средним показателем, который как общий множитель выносим за знак суммы.

· Сумма отклонений вариантов от средней величины всегда равен 0.
Это означает, что средние арифметические взаимно полагаются отклонениям в ту или иную сторону,

· Если все частоты разделить на какое-либо число, то среднее от этого числа не изменится.

Перечисленные свойства позволяют определять среднюю арифметическую упрощенными способами:

1) Если все частоты равны, то вместо средней арифметической взвешенной можно исчислять среднюю арифметическую простую.

2) Вместо абсолютных данных, которыми представлены частоты, можно использовать их удельный вес

3) Способ моментов (способ отчета от условного нуля):

Группы заводов по числу персонала, чел.	Число заводов, f	Средний интервал, х	Х-А, А=3500	Х”, (х-А)/k, k=1000	X”*f
1000-2000			-2000	-2	-6
2000-3000			-1000	-1	-4
3000-4000			-
4000-5000
5000-6000
Итого		-	-	-

0,6*k=600

600+А=600+3500=4100-средняя списочная численность.

Средняя гармоническая.

Средняя гармоническая - это обратная величина средней арифметической из обратных величин. Применяется в тех случаях, когда из 2х заданных показателей один является произведением, а второй сомножителем этого произведения.

,

Средняя геометрическая. Понятия, исчисление, применение.

Применяется только для расчета среднего темпа роста.

Данные о прибыли предприятия:

Показатель	Годы
Прибыль, млн.р.	2,0	2,4	3,0	4,0
у1	у2	у3	у4

Тр²⁰⁰⁹=у2\у1=1,2р=120%

Тр²⁰¹⁰=у3/у2=1,25р=125%

Тр²⁰¹¹=у4/у3=1,33р=133%

Средняя хронометрическая

Применяется только для моментного ряда динамики, когда данные связаны на дату на момент времени.

Остаток:

На 1.01=10млн.р.-у1

На 1.02=12млн.р.-у2

На 1.03=13млн.р.-у3

На 1.04=14млн.р.-у4

Средний остаток за каждый месяц:

у_янв=(у1+у2)/2=11млн.р.

у_фев=(у2+у3)/2=12,5млн.р.

у_март=(у3+у4)/2=13,5млн.р.

у_1кв=(11+12,5+13,5)/3=12,1млн.р.

Для характеристики структуры совокупности используются особые средние: мода и медиана.

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака.

Моду чаще всего исчисляют по данным интервального ряда например, имеются данные о дневной выработке рабочих:

Дневная выработка,шт	Число рабочих, чел
50-60
60-70
70-80
80-90
90-100
Итого

x₀-нижняя граница

x₁-верхняя граница

f₁-частота предмодального интервала

f₂-частота модального интервала

f₃-частота послемодального интервала.

Модальным называется интервал, содержащий моду. Ему соответствует наибольшая частота.

F₁=30_, f₂=60,f₃ = 50. х₀=70, х₁=80

Мо =77,5

Чаще всего встречаются рабочие с дневной выработкой 77,5 шт.

Моду можно вычислять и в случае случайных интервалов, когда используют эту же формулу, но вместо частот применяют плотность распределения, т.е число единиц совокупности, приходящаяся на единицу величины интервала.

Мода применяется для расчета модальной заработной платы, модальной себестоимости, модальной производительности труда и др.

Медиана.

Медиана - средняя величина,. Ценральный член упорядоченного (ранжированного) ряда совокупностей.

Медианный интервал-интервал, содержащий медиану. В нем накапления абсолютные более половины, а относительные 50%.

- Абсолютный,

- Относительный.

Медиану применяют в качестве средней величины в тех случаях, когда нет достаточной уверенности в однородности изучаемой совокупности, а также в случаях больших колебаний варьирующего признака, иначе среднее арифметическое будет находиться под сильными внешними простейших величин. На медиану высокие значения признака не влияют, больше влияет число случае на том или ином уровне. Медиана всегда конкретна, т.к. мод ней подразумевают действительный член совокупности в то время, как средний член пожжет принимать такие значения, которого нет ни у одной единицы совокупности. На точность расчета не влияет открытый интервал. Медиана имеет минимальную сумму отклонений фактических данных.

Средние величины дают обобщающий характер совокупности. Они не показывают как отдельные величины группируются вокруг нее, отклоняются от нее. С этой целью используют показатели вариации. Они выражают меру колебаний, меру отклонений отдельных вариантов.

Показатели вариации:

1) Размах

2) Среднее линейное отклонение

3) Дисперсия

4) Среднее квадратичное отклонение

5) Коэффициент вариации.

Размах вариации.

Разность максимального и минимального признака значения совокупности.

R=Xmax-Xmin

Среднее линейное отклонение.

Это среднее арифметическое из абсолютных отклонений отдельных вариантов от средней величины.

,

Экономический смысл: среднее линейное отклонение показывает на сколько в среднем отклоняются отдельные варианты от их средней величины.

Дисперсия

Это средний квадрат отклонений.

,

Среднее квадратичное отклонение.

Корень квадратный из дисперсии.

,

Экономический смысл: показывает на сколько в среднем отличаются отдельные варианты от их средней величины.

Коэффициент вариации.

-процентное соотношение среднего линейного или среднего квадратичного отклонения от среднего арифметического.

,

Экономический смысл: насколько заработная плата отдельных рабочих отличается от среднего заработка.

Показатели вариации применяются при изучении ритмичности работы предприятия и ритмичности выпуска продукции, при оценке выполнения норм выработки, при изучении качества продукции, при усмотрения рентабельности вида продукции.