Задача стат. оценивания. Несмещенность и состоятельность оценок. Эффективность оценок.
Статистика
Предмет мат. статистики. Основные понятия: выборка, генеральная совокупность, статистики. Распределение выборки, выборочные моменты.
Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называют сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками. Мат. статистика позволяет получать обоснованные выводы о параметрах, видах распределений и других свойствах случайных величин по конечной совокупности наблюдений над ними – выборке (набор независимых одинаково распределенных наблюдений). Выборка должна быть репрезентативная (представительная), то есть представлять всю генеральную совокупность при помощи случайного выбора. Закон распределения случайной величины Х называется распределением генеральной совокупности, а случайный вектор (Х1, …, Хn) – выборочным вектором. Любую функцию элементов выборки называют статистикой (например, Ɵ(х1,х2,…,хn)). Чтобы выяснить, какие свойства должна иметь статистика Ɵ(х1,х2,…,хn) для того, чтобы ее значения могли бы считаться хорошей в некотором смысле оценкой параметра Ɵ, ее рассматривают как функцию случайного вектора (Х1, Х2,…,Хn), одной из реализаций которого является данная выборка (х1,х2,…,хn). Распределением выборки называется распределение дискретной случайной величины, принимающей значения х1, х2, …, хn с вероятностями 1/n. Соответствующая функция распределения называется эмпирической (выборочной) функцией распределения и обозначается F*n (x) = 
. F*n (x)=0 при x<=x(1) и F*n (x)=1 при x>x(n).. Выборочные моменты в математической статистике — это оценка теоретических моментов распределения на основе выборки. Пусть — выборка из распределения вероятности. Тогда
Выборочный момент порядка k — это случайная величина 
Центральный выборочный момент порядка k — это случайная величина, где символ 
обозначает выборочное среднее. 
m* (выборочное среднее) = 
Задача стат. оценивания. Несмещенность и состоятельность оценок. Эффективность оценок.
Из одной генеральной совокупности можно получить сколько угодно выборок объема n, по выборкам можно получить множество характеристик. И все показатели это есть случайные величины.
1) Оценка должна быть несмещенной.
Θ – параметр
Θ* - оценка Θ по выборке
M [Θ] = Θ
Выборочное среднее является несмещенной оценкой мат. ожидания.
2) 
Состоятельной
Θ*n n ∞ Θ
Чем больше объем выборки, тем точнее результат
3) Эффективность
D [Θ*] n ∞ 0
M1 [Θ*1] = Θ
M2 [Θ*2] = Θ
D [Θ*1]< D [Θ*2] следовательно Θ*1 является более эффективным.
Критерий хи-квадрат для проверки гипотезы о виде распределения.
Анализ значимости и адекватности регрессионной модели.
Статистика
Предмет мат. статистики. Основные понятия: выборка, генеральная совокупность, статистики. Распределение выборки, выборочные моменты.
Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называют сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками. Мат. статистика позволяет получать обоснованные выводы о параметрах, видах распределений и других свойствах случайных величин по конечной совокупности наблюдений над ними – выборке (набор независимых одинаково распределенных наблюдений). Выборка должна быть репрезентативная (представительная), то есть представлять всю генеральную совокупность при помощи случайного выбора. Закон распределения случайной величины Х называется распределением генеральной совокупности, а случайный вектор (Х1, …, Хn) – выборочным вектором. Любую функцию элементов выборки называют статистикой (например, Ɵ(х1,х2,…,хn)). Чтобы выяснить, какие свойства должна иметь статистика Ɵ(х1,х2,…,хn) для того, чтобы ее значения могли бы считаться хорошей в некотором смысле оценкой параметра Ɵ, ее рассматривают как функцию случайного вектора (Х1, Х2,…,Хn), одной из реализаций которого является данная выборка (х1,х2,…,хn). Распределением выборки называется распределение дискретной случайной величины, принимающей значения х1, х2, …, хn с вероятностями 1/n. Соответствующая функция распределения называется эмпирической (выборочной) функцией распределения и обозначается F*n (x) = . F*n (x)=0 при x<=x(1) и F*n (x)=1 при x>x(n).. Выборочные моменты в математической статистике — это оценка теоретических моментов распределения на основе выборки. Пусть — выборка из распределения вероятности. Тогда
Выборочный момент порядка k — это случайная величина
Центральный выборочный момент порядка k — это случайная величина, где символ обозначает выборочное среднее.
m* (выборочное среднее) =
Задача стат. оценивания. Несмещенность и состоятельность оценок. Эффективность оценок.
Из одной генеральной совокупности можно получить сколько угодно выборок объема n, по выборкам можно получить множество характеристик. И все показатели это есть случайные величины.
1) Оценка должна быть несмещенной.
Θ – параметр
Θ* - оценка Θ по выборке
M [Θ] = Θ
Выборочное среднее является несмещенной оценкой мат. ожидания.
2) Состоятельной
Θ*n n ∞ Θ
Чем больше объем выборки, тем точнее результат
3) Эффективность
D [Θ*] n ∞ 0
M1 [Θ*1] = Θ
M2 [Θ*2] = Θ
D [Θ*1]< D [Θ*2] следовательно Θ*1 является более эффективным.