Данные своей задачи возьмите из таблицы по последнему номеру в зачетке.
Данные своей задачи возьмите из таблицы по последнему номеру в зачетке.
1. В урне N билетов. Из них M выигрышных. Какова вероятность того, что первый вынутый билет окажется выигрышным?
2. Биатлонист стреляет в мишень. Мишень - круг радиуса R см. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 1. Попадание в любую точку мишени равновероятно. Какова вероятность попадания в круг радиуса r см.
3. Имеется собрание из N томов некоего автора. Все N томов расставляются на полке случайным образом на книжной полке. Какова вероятность того, что тома расположатся в порядке 1,2,…N или N...2,1?
4. Имеется собрание из N томов некоего автора. На верхней полке умещается только М томов (М<N). Эти тома берут из томов случайным образом и расставляют на верхней полке случайным порядком. Каков вероятность того, что тома расположатся в порядке 1,2, …, М или М, …, 2, 1?
5. Имеется собрание из N томов некоего автора. На верхней полке умещается только М томов (М<N). Эти тома берут из томов случайным образом и расставляют на верхней полке. Какова вероятность, что для размещения на верхней поле будут выбраны тома 1, 2, …, М?
6. Три стрелка стреляют по мишени. Предполагается, что события попадания в мишень для стрелков независимы и вероятности попадания в мишень равны р1,р2, р3. Какова вероятность того, что:
А) все три выстрела окажутся успешными;
Б) хотя бы один из трех выстрелов окажется успешным;
В) точно один выстрел окажется успешным, два неуспешными?
7. Идет охота на волка. В охоте участвуют 4 охотника. Вероятности выхода волка на первого охотника – р1,, на второго - р2, на третьего - р3, на четвертого - р4. Вероятность убийства волка первым охотником, если волк вышел на него, - р1,. Вероятность убийства волка вторым охотником, если волк вышел на него, - р2. Вероятность убийства волка третьим охотником, если волк вышел на него, - р3. Вероятность убийства волка четвертым охотником, если волк вышел на него, - р4. Какова вероятность убийства волка?
8. М% всех мужчин и N% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина. Число мужчин и женщин одинаково.
9. Футболист бьет пенальти N раз. Вероятности забить при одном ударе – р. Какова вероятность того, что будет забито 3 мяча? Более 2 мячей? Найти математическое ожидание и дисперсию.
10. Случайная величина Х задана рядом распределения.
| Хi | -3 | |||
| Pi | P1 | P2 | P3 | P4 |
Найти математическое ожидание МХ, дисперсию ДХ, вероятности Р (Х<0), P (X>0), P (-1<X<3).
Для случайной величины Y=2X+6 найти математическое ожидание MY, дисперсию ДY.
11. Количество Х принимаемых за час звонков по домашнему телефону имеет распределение Пуассона. Среднее количество принимаемых за час звонков – λ. Какова вероятность того, что будет принято 3 звонка? Более 2 звонков? Найти математическое ожидание и дисперсию.
12. Функция плотности случайной величины Х имеет вид:
| f(x)= | { | 0 при X>0 |
| nx при 0≤x≤√2/n | ||
| 0 при x≥√2/n |
Найти математическое ожидание, дисперсию, P (0<X<0,1).
13. Случайная величина Х – время ожидания дождя в сутках – имеет равномерное распределение на отрезке [0, N]. Найти математическое ожидание, дисперсию, P (X<5),
P (3<X).
14. Вероятность безотказной работы прибора в течение х часов равна 
. Найти математическое ожидание М – среднюю наработку на отказ и вероятность безотказной работы прибора в течение 100 часов.
15. Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(a,σ). a = MX, σ = √DX – среднеквадратичное отклонение. Найти P (X<1), P (-1<X<1), P (-5<X<5), P (- σ<X-а< σ ), P (-2 σ <X-а<2 σ ).
ЗАНЯТИЕ 11. Применение критериев согласия
Основные принципы статистической проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы (простойи сложной), нулевой и конкурирующей гипотезы, ошибок первого и второго рода, уровня значимости, статистического критерия, критической области, области принятия гипотезы.
Понятия наблюдаемого значения критерия и критической точки.
Критерии для проверки гипотез о вероятности события, о математическом ожидании, о сравнении двух дисперсий.
Критерий «хи-квадрат» К. Пирсона для проверки гипотезы о законе распределения
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ
«СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ»
А) По данной выборке 
объема 
строится статистический ряд
 |  |  |  |  |
 |  |  | |  |
Здесь 
— элементы выборки, записанные в порядке возрастания, 
— число повторений элемента 
в выборке. Очевидно, что 
Б) При большом объеме выборки ее элементы объединяются в группы, и строится группированная выборка, а затем группированный статистический ряд. Для этого отрезок 
, содержащий все элементы выборки, разбивается на 
интервалов одинаковой длины 
. В зависимости от объема выборки число интервалов группировки 
берется от 
до 
. Находятся концы интервалов 
, середины интервалов 
и соответствующие эмпирические частоты — количество 
элементов выборки, попавших в 
-ый интервал (элемент, совпадающий с верхней границей интервала, относится к последующему интервалу). Очевидно, что
Строится группированный статистический ряд относительных частот: 
.
В) Строится график выборочной функции распределения 
, где
при 
,
при 
при 
.
Г) Строится гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями 
и высотами 
.
Д) Находится оценка математического ожидания – выборочное среднее 
оценка дисперсии – исправленная выборочная дисперсия: 
исправленное среднее квадратическое отклонение : 
.
Е) Находятся теоретические частоты 
, где 
Значения функции Лапласа 
находятся по таблицам.
Ж) Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности сначала составляется расчетная таблица:
| Номер интервала | Границы интервала | Эмпирические частоты | Теоретические частоты | ||
| |  |  |  |  |  |
   |
З) Если 
или 
при некотором 
, то -ый интервал объединяется с соседним, при этом эмпирические и теоретические частоты суммируются. После объединения получаются 
интервалов 
, в каждом из которых 
и 
.
И) По расчетной таблице находится наблюдаемое значение статистики «хи-квадрат»: 
К) По заданному уровню значимости 
и числу степеней свободы 
находится из таблиц критическая точка 
. Если 
, то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении случайной величины 
и поэтому она принимается. Если 
, то гипотезу отвергают.
Л) Если гипотеза принимается, то с помощью таблиц строится график плотности 
случайной величины (распределенной по нормальному закону). Этот график строится в тех же осях и масштабе, что и гистограмма относительных частот.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Варианты индивидуальных заданий
Ниже приведены варианты индивидуальных заданий для выполнения расчетного задания «Статистическая обработка результатов измерений»; 
-му варианту соответствуют элементы выборки, расположенные в 15-ти последовательных строках таблицы, начиная с -ой (объем выборки при этом 
. При выполнении работы следует принять уровень значимости 
, отрезок 
, число интервалов 
.
Основы выборочного метода и элементы статистический теории оценивания.Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд, интервальный вариационный ряд. Полигон, гистограмма. Выборочная функция распределения. Числовые характеристики выборки. Точечное оценивание параметров распределения. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценки. Выборочная средняя как оценка генеральной средней. Оценка генеральной дисперсии. Интервальное оценивание параметров распределения. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Интервальное оценивание генеральной средней и генеральной дисперсии.
Статистическое исследование зависимостей.Корреляционный и регрессионный анализ. Корреляционная таблица. Выборочный коэффициент корреляции. Построение выборочных линейных уравнений регрессии. Множественная линейная регрессия. Частные и множественные коэффициенты корреляции. Экономические примеры.
Методы статистической проверки гипотез.Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Критерий проверки статистической гипотезы, критическая область. Ошибки первого и второго рода, уровень значимости, мощность критерия. Проверка гипотезы о среднем значении при известной и неизвестной дисперсии. Гипотеза о равенстве генеральных средних. Гипотеза о равенстве генеральных дисперсий. Понятие о критерии согласия. Критерий согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова.
Данные своей задачи возьмите из таблицы по последнему номеру в зачетке.
1. В урне N билетов. Из них M выигрышных. Какова вероятность того, что первый вынутый билет окажется выигрышным?
2. Биатлонист стреляет в мишень. Мишень - круг радиуса R см. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 1. Попадание в любую точку мишени равновероятно. Какова вероятность попадания в круг радиуса r см.
3. Имеется собрание из N томов некоего автора. Все N томов расставляются на полке случайным образом на книжной полке. Какова вероятность того, что тома расположатся в порядке 1,2,…N или N...2,1?
4. Имеется собрание из N томов некоего автора. На верхней полке умещается только М томов (М<N). Эти тома берут из томов случайным образом и расставляют на верхней полке случайным порядком. Каков вероятность того, что тома расположатся в порядке 1,2, …, М или М, …, 2, 1?
5. Имеется собрание из N томов некоего автора. На верхней полке умещается только М томов (М<N). Эти тома берут из томов случайным образом и расставляют на верхней полке. Какова вероятность, что для размещения на верхней поле будут выбраны тома 1, 2, …, М?
6. Три стрелка стреляют по мишени. Предполагается, что события попадания в мишень для стрелков независимы и вероятности попадания в мишень равны р1,р2, р3. Какова вероятность того, что:
А) все три выстрела окажутся успешными;
Б) хотя бы один из трех выстрелов окажется успешным;
В) точно один выстрел окажется успешным, два неуспешными?
7. Идет охота на волка. В охоте участвуют 4 охотника. Вероятности выхода волка на первого охотника – р1,, на второго - р2, на третьего - р3, на четвертого - р4. Вероятность убийства волка первым охотником, если волк вышел на него, - р1,. Вероятность убийства волка вторым охотником, если волк вышел на него, - р2. Вероятность убийства волка третьим охотником, если волк вышел на него, - р3. Вероятность убийства волка четвертым охотником, если волк вышел на него, - р4. Какова вероятность убийства волка?
8. М% всех мужчин и N% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это мужчина. Число мужчин и женщин одинаково.
9. Футболист бьет пенальти N раз. Вероятности забить при одном ударе – р. Какова вероятность того, что будет забито 3 мяча? Более 2 мячей? Найти математическое ожидание и дисперсию.
10. Случайная величина Х задана рядом распределения.
| Хi | -3 | |||
| Pi | P1 | P2 | P3 | P4 |
Найти математическое ожидание МХ, дисперсию ДХ, вероятности Р (Х<0), P (X>0), P (-1<X<3).
Для случайной величины Y=2X+6 найти математическое ожидание MY, дисперсию ДY.
11. Количество Х принимаемых за час звонков по домашнему телефону имеет распределение Пуассона. Среднее количество принимаемых за час звонков – λ. Какова вероятность того, что будет принято 3 звонка? Более 2 звонков? Найти математическое ожидание и дисперсию.
12. Функция плотности случайной величины Х имеет вид:
| f(x)= | { | 0 при X>0 |
| nx при 0≤x≤√2/n | ||
| 0 при x≥√2/n |
Найти математическое ожидание, дисперсию, P (0<X<0,1).
13. Случайная величина Х – время ожидания дождя в сутках – имеет равномерное распределение на отрезке [0, N]. Найти математическое ожидание, дисперсию, P (X<5),
P (3<X).
14. Вероятность безотказной работы прибора в течение х часов равна . Найти математическое ожидание М – среднюю наработку на отказ и вероятность безотказной работы прибора в течение 100 часов.
15. Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(a,σ). a = MX, σ = √DX – среднеквадратичное отклонение. Найти P (X<1), P (-1<X<1), P (-5<X<5), P (- σ<X-а< σ ), P (-2 σ <X-а<2 σ ).