График эмпирической функции распределения
рис.2
Замечание. Для наглядности, при построении гистограммы и эмпирической функции распределения масштаб по оси абсцисс и оси ординат может быть выбран различным.
Найдем точечные оценки математического ожидания и дисперсии. В качест-ве таких оценок выбирают среднее выборочное значение и выбо-рочную дисперсию , где (см. пособие с.96-99).
Результаты заносим в таблицу вида 3.
Таблица 3
Номер интервала | ... | Некоторые результаты | ||||
... | ||||||
... | ||||||
... | ||||||
... |
Таблица 3 строится по данным табл.2, затем вычисляются и S 2. В нашем примере результаты приведены в табл.4, после ее создания найдены и S 2.
2. Построение доверительного интервала.
Интервал называется доверительным интервалом для неизвестного параметра θ, если, с заданной доверительной вероятностью g (надежностью) можно утверждать, что неизвестный параметр находится внутри этого интервала (накрывается интервалом). В данной работе будем искать доверительный интервал для математического ожидания m с заданной доверительной вероят-ностью g = 0,95 (см. пособие с. 108-109).
Ввиду большого объема выборки доверительный интервал имеет вид . Параметр t определяется из равенства
,
где , .
Замечание. Для определения t при использовании функции Лапласа
будем иметь следующее уравнение .
Таблица 4
Номер интер-вала | Неко-торые результаты | ||||||||||||
-3,75 | -3,25 | -2,75 | -2,25 | -1,75 | -1,25 | -0,75 | -0,25 | 0,25 | 0,75 | 1,25 | 1,75 | ||
0,005 | 0,005 | 0,01 | 0,055 | 0,08 | 0,17 | 0,17 | 0,185 | 0,19 | 0,09 | 0,040 | |||
-0,019 | -0,014 | -0,023 | -0,096 | -0,1 | -0,128 | -0,043 | 0,046 | 0,143 | 0,113 | 0,07 | = - 0,052 | ||
0,070 | 0,038 | 0,051 | 0,168 | 1/8 | 0,096 | 0,011 | 0,012 | 0,107 | 0,141 | 0,123 | = 0,942 |
= 0,052; S 2 = = 0,942 - 0,003 = 0,939
Округляя полученные результаты, принимаем = 0,05; S 2 = 0,94.
Для рассматриваемого примера будем иметь при g = 0,95, 0,975,
откуда t =1,95, поэтому в нашем примере имеем
,
Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания имеет вид .
3. Проверка статистических гипотез.
Проверим гипотезу о том, что генеральная совокупность, из которой произ-ведена выборка, имеет нормальный закон распределения (такое предположение может быть сделано по виду гистограммы). Применим критерий согласия (Пирсона). Так как математическое ожидание m и дисперсия генеральной совокупности нам неизвестны, то вместо них возьмем ихвыборочные характеристики: выборочное среднее и выборочную дисперсию S2.
Проверка гипотезы сводится к следующему алгоритму.
Объединим в один интервал интервалы с малыми частотами так, чтобы в каждом из интервалов было не менее 6-8 элементов выборки. Обозначим полученное число интервалов буквой k ( ). Вычислим статистику
,
где ni - число элементов выборки в каждом из k интервалов; pi – теоретичес-кая вероятность попадания случайной величины в i -й интервал, которая опре-деляется по формуле
где вместо m берем , а вместо = S 2, т. е. .
Устанавливаем число степеней свободы r, которое для нормального закона вычисляем по формуле r=k- 3. Назначаем уровень значимости = 0,05.
Для заданного уровня значимости р и найденного числа степеней свободы r по таблицам -распределения Пирсонанаходим значение и сравниваем между собой это значение и вычисленное значение статистики . Если окажется, что < ,то гипотеза о нормальном распределении не отвергается, то есть экспериментальные данные не противоречат гипотезе о нормальном распределении генеральной совокупности (см. пособие с. 126-129).
Замечание.При вычислении теоретических вероятностей крайние интервалы и заменяются интервалами и .
Применим критерий к рассматриваемому примеру при уровне значимости p = 0,05. Результаты вычислений помещены в таблице 5. Из этой таблицы имеем = 209,16; = 209,16 - 200 = 9,16. По таблице -распределения находим: = 11,07. Так как полученное нами значение = 9,16 < 11,07, то ги-потеза о нормальном распределении генеральной совокупности не отвергается.
Тема 2