Г.Д. Алексеева, А.Н.Муравьев
И.М.Баранова, Н.А.Часова,
Г.Д. Алексеева, А.Н.Муравьев
| Математика Методические указания к выполнению РГР для студентов очного и заочного обучения «Статистическая обработка экспериментальных данных» |
Брянск 2006
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
МАТЕМАТИКА
Методические указания к выполнению РГР для студентов очного и заочного обучения «Статистическая обработка экспериментальных данных»
Брянск 2006
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
Кафедра математики
Утверждены научно-методическим
советом БГИТА
протокол № ____ от «___»_________ 2006 года
МАТЕМАТИКА
Методические указания к выполнению РГР для студентов очного и заочного обучения «Статистическая обработка экспериментальных данных»
Брянск 2006
УДК 519.2
Математика: методические указания к выполнению РГР для студентов очного и заочного обучения «Статистическая обработка экспериментальных данных»/ Брянск. гос. инж.-технол. акад. Сост.: И.М.Баранова, Н.А.Часова, Г.Д.Алексеева, А.Н.Муравьев. – Брянск: БГИТА, 2006. – 32 с.
Даны методические рекомендации для самостоятельного изучения одного из разделов математической статистики. Кратко приводятся основные теоретические сведения, подробно разобран пример выполнения расчетно–графической работы.
Для студентов очной и заочной форм обучения.
Рецензент: кандидат физ.–мат. наук, доц. Евтюхов К.Н.
Рекомендованы редакционно–издательской и методической комиссиями механико–технологического факультета БГИТА.
Протокол № ___ от «___» _____________ 2006 г.
ВВЕДЕНИЕ
Наука, изучающая закономерности массовых случайных событий, называется теорией вероятностей. Применение теории вероятностей к обработке больших совокупностей чисел называется математической статистикой. Основная задача математической статистики состоит в разработке методов, позволяющих обобщать результаты наблюдений. Статистические совокупности могут быть взяты из самых разнообразных областей, поэтому математическая статистика находит себе применение во всевозможных исследованиях: в физике, астрономии, биологии, метеорологии, демографии, экономике, современном производстве и технике и т.д.
Любое статистическое исследование состоит из нескольких основных этапов:
1) организация и планирование статистических наблюдений;
2) сбор статистических данных;
3) анализ статистических данных;
4) принятие решений, рекомендаций и выводов;
5) прогнозирование случайных явлений;
6) статистический контроль регулирования хода технологических процессов, оценка качества партий продукции.
Цель методических указаний – формирование навыков статистической обработки экспериментального материала, которые могут быть использованы при выполнении исследовательских работ по различным учебным дисциплинам, при выполнении курсовых работ и дипломном проектировании, в научных исследованиях. Эти навыки будут полезны студентам всех специальностей и различных форм обучения.
Методические указания соответствуют ГОСам для технических ВУЗов.
Задания к РГР:
1. По результатам выборки построить вариационный ряд.
2. Представить графическое изображение вариационного ряда (полигон и гистограмму).
3. Составить эмпирическую функцию распределения и нарисовать ее график.
4. Вычислить основные выборочные характеристики.
5. Найти точечные и интервальные оценки параметров распределения.
6. На основе полученных результатов выдвинуть гипотезу о виде распределения (нормальное распределение).
7. С помощью критерия согласия Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении признака генеральной совокупности.
8. Построить эмпирическую кривую распределения.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Генеральной совокупностью называется совокупность всех наблюдений, которые могли быть сделаны при данном комплексе условий измерений.
Число членов 
, образующих генеральную совокупность, называется объемом генеральной совокупности.
Генеральная совокупность является понятием модельным. Говоря о распределении случайной величины (СВ) X в генеральной совокупности, мы можем делать различные предположения о функции распределения F(x) СВ или о параметрах этой функции.
Выборочной совокупностью или выборкой объема n называется совокупность n объектов, отобранных из исследуемой генеральной совокупности.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ВЫБОР ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Большинство применяемых в практике контроля статистических методов основано на предположении, что распределение контролируемого признака подчиняется определенному теоретическому закону (нормальному, биноминальному, пуассоновскому и так далее) с параметрами, либо оцениваемыми по выборке, либо заранее известными. Применению этих методов должна предшествовать проверка по данным выборочных наблюдений гипотезы о законе распределения.
Чаще всего на практике имеют дело с нормальным распределением. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос дан А.М.Ляпуновым в центральной предельной теореме теории вероятности. Приведем следствие из нее: если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.
Функция плотности нормального закона распределения имеет вид 
, а интегральная функция распределения - 
У нормального распределения два параметра (r =2): математическое ожидание 
и среднее квадратическое отклонение 
. Их оцениваем по выборке: 
.
Кривая нормального распределения симметрична относительно прямой 
.
1) Для нормального закона средняя арифметическая 
, мода 
и медиана 
равноправны, как характеристики центра распределения:
У нас: 
. Как видно, значения этих величин отличаются друг от друга. Это можно объяснить тем, что три интервала имеют одинаковую частоту, которая является максимальной.
2) У кривой нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.
У нас: 
. Как видно, значение коэффициента асимметрии можно считать равным нулю, тогда как значение коэффициента эксцесса значительно отличается от нуля. Это можно объяснить неоднородностью статистического материала.
3) В случае нормального распределения справедливо следующее условие:
.
Проверим выполнение этого условия для нашего примера. В нашем случае выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса равны 
, следовательно, условие выполнено, а именно для 
: 
, 
; для 
, 
4) На практике для выдвижения гипотезы о нормальном распределении используют правило 3-х сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения, т.е. все значения случайной величины должны попасть в интервал: 
.
В нашем случае все значения величины попадают в интервал , равный 
, т.к. 
Рисунок 5 - Правило 3-х сигм.
Таким образом, у нас есть основания предположить, что изучаемая случайная величина распределена по нормальному закону (нулевая гипотеза)
.
Приложение 1
Таблица значений функции 
| 0.0 | 0.3989 | |||||||||
| 0.1 | ||||||||||
| 0.2 | ||||||||||
| 0.3 | ||||||||||
| 0.4 | ||||||||||
| 0.5 | ||||||||||
| 0.6 | ||||||||||
| 0.7 | ||||||||||
| 0.8 | ||||||||||
| 0.9 | ||||||||||
| 1.0 | 0.2420 | |||||||||
| 1.1 | ||||||||||
| 1.2 | ||||||||||
| 1.3 | ||||||||||
| 1.4 | ||||||||||
| 1.5 | ||||||||||
| 1.6 | ||||||||||
| 1.7 | ||||||||||
| 1.8 | ||||||||||
| 1.9 | ||||||||||
| 2.0 | 0.0540 | |||||||||
| 2.1 | ||||||||||
| 2.2 | ||||||||||
| 2.3 | ||||||||||
| 2.4 | ||||||||||
| 2.5 | ||||||||||
| 2.6 | ||||||||||
| 2.7 | ||||||||||
| 2.8 | ||||||||||
| 2.9 | ||||||||||
| 3.0 | 0.0044 | |||||||||
| 3.1 | ||||||||||
| 3.2 | ||||||||||
| 3.3 | ||||||||||
| 3.4 | ||||||||||
| 3.5 | ||||||||||
| 3.6 | ||||||||||
| 3.7 | ||||||||||
| 3.8 | ||||||||||
| 3.9 |
Приложение 2
Критические точки распределения χ2
| Число степеней свободы | Уровень значимости α | |||||
| 0.01 | 0.025 | 0.05 | 0.95 | 0.975 | 0.89 | |
| 6.6 | 5.0 | 3.8 | 0.0039 | 0.00098 | 0.00016 | |
| 9.2 | 7.4 | 6.0 | 0.103 | 0.051 | 0.020 | |
| 11.3 | 9.4 | 7.8 | 0.352 | 0.216 | 0.115 | |
| 13.3 | 11.1 | 9.5 | 0.711 | 0.484 | 0.297 | |
| 15.1 | 12.8 | 11.1 | 1.15 | 0.831 | 0.554 | |
| 16.8 | 14.4 | 12.6 | 1.64 | 1.24 | 0.872 | |
| 18.5 | 16.0 | 14.1 | 2.17 | 1.69 | 1.24 | |
| 20.1 | 17.5 | 15.5 | 2.73 | 2.18 | 1.65 | |
| 21.7 | 19.0 | 16.9 | 3.33 | 2.70 | 2.09 | |
| 23.2 | 20.5 | 18.3 | 3.94 | 3.25 | 2.56 | |
| 24.7 | 21.9 | 19.7 | 4.57 | 3.82 | 3.05 | |
| 26.2 | 23.3 | 21.0 | 5.23 | 4.40 | 3.57 | |
| 27.7 | 24.7 | 22.4 | 5.89 | 5.01 | 4.11 | |
| 29.1 | 26.1 | 23.7 | 6.57 | 5.63 | 4.66 | |
| 30.6 | 27.5 | 25.0 | 7.26 | 6.26 | 5.23 | |
| 32.0 | 28.8 | 26.3 | 7.96 | 6.91 | 5.81 | |
| 33.4 | 30.2 | 27.6 | 8.67 | 7.56 | 6.41 | |
| 34.8 | 31.5 | 28.9 | 9.39 | 8.23 | 7.01 | |
| 36.2 | 32.9 | 30.1 | 10.1 | 8.91 | 7.63 | |
| 37.6 | 34.2 | 31.4 | 10.9 | 9.59 | 8.26 | |
| 38.9 | 35.5 | 32.7 | 11.6 | 10.3 | 8.90 | |
| 40.3 | 36.8 | 33.9 | 12.3 | 11.0 | 9.54 | |
| 41.6 | 38.1 | 35.2 | 13.1 | 11.7 | 10.2 | |
| 43.0 | 39.4 | 36.4 | 13.8 | 12.4 | 10.9 | |
| 44.3 | 40.6 | 37.7 | 14.6 | 13.1 | 11.5 | |
| 45.6 | 41.9 | 38.9 | 15.4 | 13.8 | 12.2 | |
| 47.0 | 43.2 | 40.1 | 16.2 | 14.6 | 12.9 | |
| 48.3 | 44.5 | 41.3 | 16.9 | 15.3 | 13.6 | |
| 49.6 | 45.7 | 42.6 | 17.7 | 16.0 | 14.3 | |
| 50.9 | 47.0 | 43.8 | 18.5 | 16.8 | 15.0 |
ЛИтература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для студентов вузов. М.: «Высшая школа», 2002.
2. Гмурман.В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: «Высшая школа», 2002.
3. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. – М..: Высшая школа, 1982. – Ч. 1 и 2.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение........................................................................................... 5
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 7
2. ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА................................... 8
3. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ.. 9
4. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (КУМУЛЯТА) 11
5. ОСНОВНЫЕ ВЫБОРОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ................... 13
6. ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ……………………………………18
7. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ.............................. 22
8. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ВЫБОР ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ……24
9. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ВИДЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.............. 25
Приложение 1...................................................................................... 31
Приложение 2...................................................................................... 32
ЛИтература..................................................................................... 33
Ирина Михайловна Баранова
Наталья Александровна Часова
Галина Дмитриевна Алексеева
Анатолий Николаевич Муравьев
Методические указания к выполнению РГР для студентов очного и заочного обучения «Статистическая обработка большой выборки»
Лицензия НД №14185 от 6.03.2001 г.
Формат 60 
94 1/16. Тираж 50 экз. Печ. л. – 2,0
Брянская государственная инженерно-технологическая академия.
241037, г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3, редакционно–издательский
отдел. Подразделение оперативной печати.
Подписано к печати _____ мая 2006 г.
И.М.Баранова, Н.А.Часова,
Г.Д. Алексеева, А.Н.Муравьев
| Математика Методические указания к выполнению РГР для студентов очного и заочного обучения «Статистическая обработка экспериментальных данных» |
Брянск 2006
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
МАТЕМАТИКА
Методические указания к выполнению РГР для студентов очного и заочного обучения «Статистическая обработка экспериментальных данных»
Брянск 2006
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
Кафедра математики
Утверждены научно-методическим
советом БГИТА
протокол № ____ от «___»_________ 2006 года
МАТЕМАТИКА
Методические указания к выполнению РГР для студентов очного и заочного обучения «Статистическая обработка экспериментальных данных»
Брянск 2006
УДК 519.2
Математика: методические указания к выполнению РГР для студентов очного и заочного обучения «Статистическая обработка экспериментальных данных»/ Брянск. гос. инж.-технол. акад. Сост.: И.М.Баранова, Н.А.Часова, Г.Д.Алексеева, А.Н.Муравьев. – Брянск: БГИТА, 2006. – 32 с.
Даны методические рекомендации для самостоятельного изучения одного из разделов математической статистики. Кратко приводятся основные теоретические сведения, подробно разобран пример выполнения расчетно–графической работы.
Для студентов очной и заочной форм обучения.
Рецензент: кандидат физ.–мат. наук, доц. Евтюхов К.Н.
Рекомендованы редакционно–издательской и методической комиссиями механико–технологического факультета БГИТА.
Протокол № ___ от «___» _____________ 2006 г.
ВВЕДЕНИЕ
Наука, изучающая закономерности массовых случайных событий, называется теорией вероятностей. Применение теории вероятностей к обработке больших совокупностей чисел называется математической статистикой. Основная задача математической статистики состоит в разработке методов, позволяющих обобщать результаты наблюдений. Статистические совокупности могут быть взяты из самых разнообразных областей, поэтому математическая статистика находит себе применение во всевозможных исследованиях: в физике, астрономии, биологии, метеорологии, демографии, экономике, современном производстве и технике и т.д.
Любое статистическое исследование состоит из нескольких основных этапов:
1) организация и планирование статистических наблюдений;
2) сбор статистических данных;
3) анализ статистических данных;
4) принятие решений, рекомендаций и выводов;
5) прогнозирование случайных явлений;
6) статистический контроль регулирования хода технологических процессов, оценка качества партий продукции.
Цель методических указаний – формирование навыков статистической обработки экспериментального материала, которые могут быть использованы при выполнении исследовательских работ по различным учебным дисциплинам, при выполнении курсовых работ и дипломном проектировании, в научных исследованиях. Эти навыки будут полезны студентам всех специальностей и различных форм обучения.
Методические указания соответствуют ГОСам для технических ВУЗов.
Задания к РГР:
1. По результатам выборки построить вариационный ряд.
2. Представить графическое изображение вариационного ряда (полигон и гистограмму).
3. Составить эмпирическую функцию распределения и нарисовать ее график.
4. Вычислить основные выборочные характеристики.
5. Найти точечные и интервальные оценки параметров распределения.
6. На основе полученных результатов выдвинуть гипотезу о виде распределения (нормальное распределение).
7. С помощью критерия согласия Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении признака генеральной совокупности.
8. Построить эмпирическую кривую распределения.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Генеральной совокупностью называется совокупность всех наблюдений, которые могли быть сделаны при данном комплексе условий измерений.
Число членов , образующих генеральную совокупность, называется объемом генеральной совокупности.
Генеральная совокупность является понятием модельным. Говоря о распределении случайной величины (СВ) X в генеральной совокупности, мы можем делать различные предположения о функции распределения F(x) СВ или о параметрах этой функции.
Выборочной совокупностью или выборкой объема n называется совокупность n объектов, отобранных из исследуемой генеральной совокупности.