Раздел 1. Краткое изложение теоретического материала
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Классическое определение вероятности , где п – общее количество всех возможных исходов опыта, а m – количество тех исходов, при которых наступает событие А (благоприятствующих событию А).
Элементы комбинаторики
1) если множество из l элементов перемешивается (элементы множества меняются местами), то речь идёт о перестановках, количество которых равно
2) если из множества l элементов берётся k элементов, то получаются:
а) сочетания, когда порядок следования элементов не важен, общее количество которых равно ;
б) размещения, когда порядок следования элементов важен, общее количество которых равно .
Алгебра событий
1) А или В
А и В несовместны, тогда
Если попарно несовместны ( т.е. ), то
2) А и В ( одновременно) , где – условная вероятность события В при условии, что событие А произошло.
Если , то А и В – независимые события.
Если попарно независимы, то
3) не А (противоположное событию А)
Полная вероятность
Если эксперимент состоит из нескольких этапов, требуется найти вероятность события, произошедшего на последнем этапе, а о результатах промежуточных этапов мы можем строить лишь предположения (гипотезы), то пользуются формулой полной вероятности:
,
где – полная группа гипотез: 1) ;
2)
Если событие на последнем этапе представлено как свершившийся факт, а требуется найти вероятность того, что вместе с событием А осуществилась одна из гипотез , то пользуются формулой Байеса:
,
где – полная вероятность события А.
Схема Бернулли (схема повторных независимых испытаний)
Если один и тот же эксперимент в одних и тех же условиях проводится п раз (несколько раз), причём результаты испытаний не зависят друг от друга, то мы находимся в рамках схемы Бернулли.
Пусть А – случайное событие, происходящее при одном испытании, , .
1) Если требуется найти вероятность того, что в п испытаниях событие А произошло ровно m раз (говорят: « произошло m успехов»), то применяют:
а) Формулу Бернулли , единственную формулу, дающую точный ответ.
Для больших п применяют предельные теоремы, дающие ответ приближенно:
б) Локальную теорему Муавра-Лапласа , где – функция Гаусса (значения по таблице), .
в) Теорему Пуассона , где – порядка единиц ( ).
2) Если требуется найти вероятность того, что в п испытаниях событие А произошло от до раз, то применяют интегральную теорему Муавра-Лапласа , где – интеграл Лапласа (значения по таблице), , .
3) – наивероятнейшее количество наступлений события А в п испытаниях вычисляется из формулы: , где может быть одним целым числом, в случае, если концы интервала дробные (единственное целое число на интервале длиной единица), и двумя целыми числами, если концы интервала целые.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Случайной величиной называется функция, определённая на пространстве элементарных событий , которая ставит в соответствие каждому элементарному событию из некоторое действительное число (любое, следующее из условия задачи) .
Случайные величины (с.в.) делятся на дискретные и непрерывные. И те и другие обладают функцией распределения: функцией, определённой на всей числовой оси R, значения которой равны вероятности того, что случайная величина примет значения, строго меньшие аргумента функции
.
Свойства функции распределения:
1. ; 2. ; 3. , ; 4. (непрерывность слева); | ; . |
Числовые характеристики случайных величин
С.в. обладают: математическим ожиданием (математическим средним), демонстрирующим, какое в среднем значение должна принять случайная величина (зависящее от возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей); дисперсией , показывающей степень рассеянности значений случайной величины от её математического ожидания (дисперсия равна мат.ожиданию квадрата отклонения значения случайной величины от её математического ожидания ), вычислительная формула – , а также среднеквадратическим отклонением , показывающим то же, что и дисперсия, но в других единицах.
Свойства математических ожиданий и дисперсий
, , , где С=const.
, – верно для независимых Х и Y.
ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
(принимающие конкретные значения)
обладают законом (рядом) распределения – таблицей из двух строк: в верхней отражаются упорядоченные по возрастанию значения случайной величины, в нижней – вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения.
Х | … | |||
Р | … |
где .
Функция распределения для этих величин кусочно-непрерывная, график её представляет собой участки прямых параллельных оси Ох, образующих ступени, поднимающиеся от 0 до 1.
Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле: ,
а её дисперсия: .
НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
(принимающие значения на интервале, например временном промежутке)
обладают плотностью распределения (вместо закона распределения у дискретных с.в.), которая является некоторой неотрицательной функцией, определённой на всей числовой прямой, обладающей свойством .
Связь с функцией распределения: , а .
Функция распределения непрерывных с.в. непрерывна.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины находится по формуле: , а её дисперсия: .
СТАНДАРТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Для дискретных случайных величин:
1. Биномиальное распределение – когда вероятности в законе распределения находятся по формуле Бернулли :
, .
2. Распределение Пуассона – когда вероятности в законе распределения находятся по теореме Пуассона , где :
, .
3. Геометрическое распределение – когда вероятности в законе распределения находятся по формуле :
, .
Для непрерывных случайных величин:
4. Равномерное распределение на промежутке (с параметрами a и b):
, , ,
, .
5. Показательное распределение с параметром :
, , , ,
.
6. Нормальное распределение с параметрами а и :
, ,
, ,
, ,
Правило трёх сигм: .