Повторні випробування. Схема незалежних випробувань.

Загальні поняття теорії ймовірностей.

1. Скільки п’ятизначних чисел можна скласти з цифр 5, 6, 7, 8, 9?

(Кожна цифра зустрічається один раз.)

2. Скільки чотиризначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

(Кожна цифра зустрічається один раз.)

3. Скільки слів можна скласти з усіх букв слів:

- «ковшик»;

- «корона»;

- «паралелограм»?

4. В групі двадцять студентів. Скількома способами можна скласти підгрупи, в яких буде шість студентів?

Практичне заняття №2.

Основні поняття комбінаторики та їх застосування при обчисленні ймовірностей.

1. В коробці десять карток, на яких написані різні цифри від 0 до 9. Навмання по-одному дістають п’ять карток. Яка ймовірність того, що:

- цифри з’являться в порядку 5, 6, 7, 8, 9;

- цифри з’являться в довільному порядку?

2. Яка ймовірність скласти слово «КИЇВ» з таких наборів букв:

-«к», «а», «и», «о», «ї», «в», «л»;

-«к», «к», «а», «и», «о», «ї», «в», «л»,«а»,«ї»;

-«и», «о», «ї», «в», «л»?

3. В ящику 100 деталей, 10 з них пофарбовані. Випадковим чином дістали чотири деталі. Знайти ймовірність того, що серед них:

- немає пофарбованих;

- всі пофарбовані.

4. Куб, всі грані якого пофарбовані, розпилили на 1000 кубиків. Знайти ймовірність того, що випадково витягнутий кубик буде мати:

- одну пофарбовану грань;

- дві пофарбовані грані;

- три пофарбовані грані;

- жодної пофарбованої грані;

Практичне заняття № 3.

Теореми суми та добутку ймовірностей.

1.З 10 цукерок 6 шоколадних. Знайти ймовірність того, що з 4 навмання взятих цукерок буде шоколадних:

- 2;

- всі;

- хоча б одна.

2. Підкинуто три гральних кубика. Знайти ймовірність того, що:

- на кожному кубі з’явиться цифра 5;

- випадуть всі різні цифри;

- випадуть всі однакові цифри.

3. Ймовірності успішного складання екзамену становить 0,8 для першої групи, 0,4 для другої та 0,6 для третьої групи. Знайти ймовірність того, що успішно склали екзамен:

- одна група;

- дві групи;

- всі групи;

- жодна група;

- хоча б одна група.

4. Серед екзаменаційних білетів «N» «щасливих». Студенти один за другим підходять за білетами. У кого більше ймовірність витягти «щасливий» білет: у першого чи у другого?

5. На полці знаходиться 10 книжок російською мовою, 15 – українською та 20 – англійською. Яка ймовірність того, що три навмання взятих книжки виявляться однієї мови?

Практичне заняття №4.

Формула повної ймовірності. Формула гіпотез Бейєса.

1.На першому курсі навчається у два рази менше студентів, ніж на другому та у три рази менше, ніж на третьому. Ймовірність того, що на першому курсі навчаються дівчата становить 0,3; на другому – 0,7 та 0,6 – на третьому. Обчисліть ймовірність того, що один випадково обраний студент (з будь-якого курсу) є дівчина.

2. У тирі знаходяться три типи мішеній. Серед них десять штук першого типу, п'ятнадцять – другого та двадцять – третього. Ймовірність влучити в першого типу мішень складає 0,2; другого та третього відповідно – 0,9 і 0,7. Хлопець стріляв один раз та влучив у довільну мішень. Знайти ймовірність того, що він влучив у мішень третього типу.

3. В ящику знаходяться цукерки трьох видів: шоколадні, фруктові та карамельні. Кількість цукерок кожного типу відноситься як 5:7:9 (відповідно). Ймовірність того, що шоколадна цукерка виготовлена на Херсонській фабриці становить 0,4, фруктова – 0,8 та карамельна – 0,7. Цукерка, яку обрали випадковим чином, виявилася херсонського виробництва. Ймовірніше всього, якого типу ця цукерка?

4.В урну, в якій було сім кульок, поклали білу кульку, після чого з неї навмання дістали одну. Знайти ймовірність того, що витягнута куля виявилась білою.

5. В спортивному залі було 10 м’ячів, з яких 6 нових. Для першої гри взяли 3 м’яча, не повертаючи їх назад. Для другої гри взяли знову 3 м’яча. Знайти ймовірність того, що всі м’ячі, які взяли для другої гри, будуть новими.

Практичне заняття №5.

Повторні випробування. Схема незалежних випробувань.

1. Ймовірність сонячного дня у травні становить 0,7. Яка ймовірність того, що з п’яти днів один буде сонячний ?

2. Ймовірність снігопаду у грудні становить 0,6. Яка ймовірність того, що з п’яти днів хоча б один буде сніжним?

3. Ймовірність народження хлопчика становить 0,54. Яка ймовірність того, що в сім'ї, в якій троє дітей, всі діти одного полу?

4. Яка ймовірність того, що з ста літаків вісімдесят сім вилетять за розкладом, якщо ймовірність вилетіти без запізнення для одного літака становить 0,9?

5. Ймовірність того, що деталь пошкоджена, становить 0,75. Яка ймовірність того, що з дев’яноста деталей шістдесят пошкоджених?

6. Ймовірність того, що влітку день буде дощовий, становить 0,3. Знайти ймовірність того, що з 85 днів буде

а) не більше 15 дощових;

б) більше 20 дощових?

7. Знайти ймовірність того, що з 500 посіяних зерен зійде не менше 400 та не більше 450, якщо ймовірність зрощення складає 0,85.

Практичне заняття №6.