Дедуктивні висновки у логіці висловлювань

У логіці висловлювань правила висновку використовують, щоб виводити одні істинні речення з інших істинних речень. У коректному дедуктивному виведенні висновок з необхідністю випливає з посилок.

Означення 1.6.1. Логічним наслідкомвисловлювання є висловлювання , якщо формула є тотожно істинною. Це визначення може бути узагальнене для випадку висловлювань, якщо – тотожно істинна формула.

Приклад 1.6.1.Показати, що висловлювання є логічним наслідком висловлювання .

Розв’язання. Доведемо, що формула є загальнозначущою. Для її доведення використаємо тотожності логіки висловлювань та еквівалентні перетворення

(A Ù Ø C)®((AÙB)ÚØC) = Ø (A Ù Ø C)Ú(AÙB)ÚØC =

=Ø A Ú CÚ(AÙB)ÚØC = Ø A Ú CÚØCÚ(AÙB)=

= Ø A Ú (AÙB)Ú I = I.

Отже, формула є загальнозначущою, а за означенням 1.6.1 – логічний наслідок.

Означення 1.6.1. Дедуктивним висловлюваннямназивають висновок формули з формули , що ґрунтується на тому, що є логічним наслідком .

Приклад 1.6.2. Довести правильність міркування за дедукцією – “ Постанова Кабінету Міністрів ухвалюється, якщо за неї голосує більшість міністрів. За постанову не проголосувала більшість міністрів, тому постанова не ухвалюється ”.

Розв’язання.До речень висловлювання введемо такі атоми: A – “ за постанову проголосувала більшість міністрів ”; B – “ постанова ухвалюється ”; A – “ за постанову не проголосувала більшість міністрів ”; B – “ постанова не ухвалюється ”.

Тоді засновки і висновки зазначимо відповідно через ~ , , і, приєднавши за допомогою імплікації до кон’юнкції засновків ~ висновок , одержимо ~ .

Перевіримо за допомогою таблиці істинності

(табл. 1.6.1), що задана імплікація ~ є логічним наслідком.

А		~			~	~
X	X	I	I	I	I	I
X	I	X	I	X	X	I
I	X	X	X	I	X	I
I	I	I	X	X	X	I

Таблиця 1.6.1

Із таблиці істинності випливає, що отримане тотожно істинне висловлювання. Отже, виходячи із законів, задане за умовою міркування задовольняє визначення дедуктивного висновку. Таким чином, істинність висновку в дедуктивному висновку гарантується істинністю засновків.

Твердження 1.6.1.Висловлювання є логічним наслідком висловлювання , якщо висловлювання є тотожно хибним.

Твердження 1.6.2.Висловлювання є логічним наслідком висловлювання , якщо на всіх інтерпретаціях, на яких істинне, теж істинне.

Тотожна істинність або хибність засновків імплікації дозволяє зробити висновок про істинність або хибність наслідку.

Твердження 1.6.3.Якщо висловлювання є логічним наслідком висловлювання , а висловлювання – тотожно істинне висловлювання, то висловлювання також тотожно істинне.

Твердження 1.6.4.Якщо висловлювання є тотожно хибним, то для будь-якого висловлювання правильно, що .

Правила для дедуктивного висновку будують на підставі загальнозначущих формул логіки висловлень вигляду .

Для наочного зображення правила умовиводів схематично записують за допомогою риски, над якою пишуть посилки, а під нею – висновок. Якщо посилок дві й більше, їх записують одну під одною ( табл. 1.6.2).

Таблиця 1.6.2

Правило дедуктивного висновку	Тавтологія	Назва правила
		Правило відділення (Modus Ponens)
	((А®В)Ù(В®С))®(А®С)	Гіпотетичний силогізм
		Від’ємна форма правила відділення (Modus Tollens)
		Правило введення диз’юнкції (правило розширення)
		Правило введення кон’юнкції
		Правило видалення диз’юнкції (диз’юнктив-ний силогізм)

Продовження табл. 1.6.2

		Правило видалення кон’юнкції
		Правило контрапозиції імплікації
	(АÙ(А®(ВÚС))Ù(В®D)Ù(C®D))®D	Правило вибору
		Правило виключаючого вибору
		Правило зведення до абсурду (Reduction ad Absurdum)

Правильність усіх перелічених у табл. 1.6.2 логічних висловлювань можна довести за допомогою таблиць істинності. З усіх правил, наведених у табл. 1.6.2, найбільш часто використовується правило відділення. Правило відділення має такий логічний сенс, якщо засновок правильний, то правильний і наслідок із нього.

Приклад 1.6.3.Дано висловлювання “ Якщо n ділиться на 9, то n ділиться на 3 ”. Також відомо, що “n ділиться на 9”. Який висновок можна зробити, виходячи із цих двох висловлювань?

Розв’язання. Введемо атомарні висловлювання :

A – “ n ділиться на 9 ”,

B – “ n ділиться на 3 ”.

Висловлювання “ Якщо n ділиться на 9, то n ділиться на 3 ” можна записати у вигляді формули . З одночасного виконання засновків і можна зробити висновок за правилом відділення “n ділиться на 3”.

Контрольні запитання

1. Який вид речень моделює формальна логіка?

2. Наведіть приклад речень, які не розглядають у формальній логіці.

3. Що таке висловлювання? Дайте визначення.

4. Що мають на увазі під істинним значенням висловлювання?

5. Які висловлювання називають атомом?

6. Що мають на увазі під інтерпретацією висловлювання?

7. Що мають на увазі під однозначно визначеним висловлюванням?

8. Дайте визначення логічного наслідку одного (кількох) висловлювання.

9. Наведіть формули логіки висловлювань, що містять будь-які логічні зв’язки, і відповідні до них речення природної мови.

10. Дайте визначення умовного й еквівалентного висловлювання.

11. Дайте визначення конверсії, інверсії та контрапозиції висловлювання.

12. Дайте визначення правильно побудованої формули логіки висловлювань.

13. Наведіть формули логіки висловлювань і відповідні їм речення природної мови, що містять будь-які логічні зв’язки.

14. Сформулюйте алгоритм запису складного речення природної мови у вигляді формули логіки висловлювань.

15. Дайте визначення інтерпретації формули логіки висловлювань.

16. Яку формулу логіки висловлювань називають тавтологією?

17. Яку формулу логіки висловлювань називають тотожно хибною?

18. Яку формулу логіки висловлювань називають нейтральною?

19. Яку загальну систему повноти логічних зв’язок мають логічні висловлювання?

20. На які системи повноти логічних зв'язок розпадається повна система?

21. Дайте визначення дедуктивного висновку.

22. У чому полягає різниця дедуктивного і недедуктивного висновків.

23. Яким чином будують дедуктивний висновок?

24. Дайте характеристику основних правил дедуктивного висновку.

25. Дайте визначення логіки висловлювань.

26. Дайте визначення побудови формули в логіці висловлювань.

27. Що таке інтерпретація висловлювання?

28. Що називають однозначно визначеним висловлюванням?

29. Що називають запереченням висловлювання?

30. Що називають кон’юнкцією і диз’юнкцією висловлювання?

31. Які операції в логіці висловлювань є унарними, а які бінарними, назвіть їх?

32. Що у логіці висловлювань називають логічними зв’язками?

33. Скільки зв’язків є у логіці висловлювань? Назвіть їх.