Геометрической вероятности 3 страница

Вариант 23. Случайная величина имеет распределение:

	0,1

Определить параметр из условия минимума .

Вариант 24. Случайная величина имеет распределение:

	0,1	0,2	–0,3	0,4	–0,1
		0,15	0,2	0,1

Определить таким образом, чтобы дисперсия имела своё минимальное значение.

Вариант 25. Распределение случайной величины задано таблицей:

	–0,15	–0,1	0,12	0,2	0,5

Определить из условия минимума .

Вариант 26. Задана дискретная случайная величина :

	0,1

Каково максимальное значение при допустимых значениях ?

Вариант 27. Двое равносильных соперников играют в шахматы. Вероятность ничейного исхода равна 0,2. Определить среднее количество очков и дисперсию для игроков, если победа приносит 2 очка, поражение даёт – 2 очка, за ничью присваивается 1 очко.

Вариант 28. Два игрока и играют в шахматы. Вероятность ничьи равна 0,1. Игровая практика показала, что среднее число очков игрока равно 1 (очки засчитываются по схеме: поражение –2 очка; ничья +1; победа +2). Каково среднее число очков у игрока . Кто более сильный шахматист?

Вариант 29. Дискретнаяслучайная величина представлена своим распределением:

	0,4	0,3	0,3

Известно, что , а . Определить в этих условиях максимальную дисперсию .

Вариант 30. Два стрелка имеют следующие показатели ( – количество очков):

	0,7	0,2	0,09	0,01

	0,62	0,38

Кому из них можно отдать предпочтение?

Задача №3

Непрерывная случайная величина.

Вариант 1. Функция распределения случайной величины определяется следующим образом:

Определить , плотность вероятности, , и .

Вариант 2. Известно, что:

Определить в этих условиях , , плотность вероятности, , и .

Вариант 3. Пусть:

При каком значении дисперсия этой случайной величины будет конечной?

Вариант 4. Случайная величина имеет плотность вероятности . Определить , , и .

Вариант 5. Функция распределения случайной величины задаётся формулами:

При каком значении дисперсия этой величины будет меньше 1?

Вариант 6. Функция распределения случайной величины имеет вид:

Определить и , найти , , и .

Вариант 7. Функция распределения случайной величины определяется по формуле: . Определить постоянные и . Найти ?

Вариант 8. Плотность вероятности . Определить , , , и .

Вариант 9. Плотность вероятности . Определить , , , и .

Вариант 10. Плотность вероятности при , при . Определить , , и .

Вариант 11. Данафункция распределения случайной величины :

Определить значение постоянной из условия непрерывности , а также плотность вероятности, , и .

Вариант 12. Дана плотность вероятности . Определить значение постоянной , найти функцию распределения , а также , и .

Вариант 13. Данаплотность вероятности:

Определить функцию распределения , , , и .

Вариант 14. Пусть – равномерная на отрезке случайна величина. Будет ли величина также равномерной? Какова её плотность вероятности?

Вариант 15. Известно, что – равномерная случайная величина на отрезке . Найти функцию распределения величины . Определить плотность вероятности и .

Вариант 16. Пусть – стандартная нормальная величина. Определить отрезок единичной длины, вероятность попадания в который наибольшая.

Вариант 17. Известно, что плотность вероятности величины равна . Определить отрезок единичной длины с наибольшей вероятностью попадания.

Вариант 18. Функция распределения некоторой случайной величины задана:

Определить симметричный относительно интервал вероятность попадания в который равна 0,99.

Вариант 19. Величина имеет равномерное распределение на отрезке . Найти функцию распределения и плотность вероятности величины .

Вариант 20. Случайная величина задана своей функцией распределения:

Определить все интервалы длиной 0,25 вероятность попадания в которые не менее 0,7.

Вариант 21. Даныдвеслучайные величины и , имеющие плотности вероятности:

Определить третью величину с плотностью , таким образом, чтобы была минимальной.

Вариант 22. Величина имеет равномерное распределение на отрезке , а величина равномерна на . Определить величину с плотностью вероятности , так, чтобы была минимальной, где , – плотности вероятности величин и .

Вариант 23. Известно, что . Найти отрезок длиной 2, вероятность попадания в который максимальна.

Вариант 24. Пусть . Определить отрезок единичной длины, вероятность попадания в который максимальна.

Вариант 25. Экспериментальные исследования показали, что плотность вероятности некоторой случайной величины может быть выражена формулами:

Выбрать постоянные , из условия .

Вариант 26. Известно, что , при этом . Определить в этих условиях .

Вариант 27. Случайная величина . Известно, что . Чему равно значение ?

Вариант 28. Плотность вероятности величины определяется формулой . Выбрать параметры и так, чтобы .

Вариант 29. Известно, что , при этом . Определить значение .

Вариант 30. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Какое распределение имеет величина . Найти её основные числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение).

Глава III

Математическая статистика

Множество однородных объектов, каждый из которых является носителем одного и того же признака называется генеральной совокупностью. Совокупность значений признака описывается с помощью случайной величины (дискретной или непрерывной). Основной задачей математической статистки является исследование генеральной совокупности статистически, т.е. выяснение вероятностных свойств случайной величины, описывающей значения количественного признака генеральной совокупности. Полное исследование генеральной совокупности, как правило, осуществить не удаётся, поэтому в математической статистике используют выборочный метод. Согласно этому методу исследуется не вся генеральная совокупность, а только некоторые её объекты (выборка). С помощью выборки оценивают генеральную совокупность по вероятностным свойствам (числовые характеристики, законы распределения и т.д.). Чтобы оценки были достоверными, выборка должна быть представительной, т.е. её вероятностные свойства должны совпадать или быть близкими к свойствам генеральной совокупности.

Представительную выборку можно получить, если выбирать объекты случайно, т.е. гарантировать всем объектам генеральной совокупности одинаковую вероятность подвергнуться исследованию. С точки зрения теории вероятностей представительную выборку объёма можно промоделировать с помощью независимых случайных величин с одинаковым законом распределения. После получения выборки приступают к вычислению оценок числовых характеристик генеральной совокупности (например, математического ожидания и дисперсии).

Различают два вида оценок: точечные и интервальные. Точечные оценки представляют собой числовые значения, рассчитанные по выборочным данным. Например, для оценки генерального среднего и дисперсии используют следующие формулы:

, (3.1)

, (3.2)

где – объём выборки. Основным требованием, предъявляемым к точечным оценкам, является их несмещённость. Оценка называется несмещённой, если её математическое ожидание совпадает с генеральным значением. Приведённые в (3.1), (3.2) оценки несмещены. Действительно, пусть

, ,

Тогда

,

В отличие от точечной оценки интервальная оценка неизвестного параметра генеральной совокупности представляет собой некий интервал, концы которого вычисляются по выборочным данным и специальным таблицам (таблицы 3,4 в конце пособия). При этом согласно определению, этот интервал, который называется доверительным, содержит внутри себя неизвестный параметр с заданной доверительной вероятностью (обычно принимают равной 0,9; 0,95; 0,99).

Например, чтобы дать интервальную оценку математическому ожиданию нормальной генеральной совокупности используют случайную величину . Величина имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы (число независимых случайных величин участвующих в её образовании). В таблице 3 представлено распределение этой случайной величины для различных значений и . По входным данным и можно определить число , удовлетворяющее условию:

. (3.3)

Из равенства (3.3) следует нужное равенство:

. (3.4)

После раскрытия модуля получаем окончательно:

, (3.5)

где .

Для получения интервальной оценки дисперсии нормальной генеральной совокупности используют случайную величину . Величина имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы и представлена в таблице 4 в конце пособия. По этой таблице определяют два числа и по условиям: