Непрерывная случайная величина (НСВ)

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Например: дальность полёта артиллерийского снаряда; расход электроэнергии на предприятии за месяц.

7.1.5 Равномерно распределённая НСВ

Непрерывная случайная величина имеет равномерноераспределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю.

, (31)

Постоянная величина С может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения. Построим график равномерного распределения непрерывной случайной величины (см. рисунок 1).

f(x)

0 a b x

Рис. 6 – График равномерного распределения

Для того чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы ее значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны.

Определим математическое ожидание дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения.

, (32)

где а – начало интервала [a, b];

b – конец интервала [a, b].

, (33)

где а – начало интервала [a, b];

b – конец интервала [a, b].

, (34)

где а – начало интервала [a, b];

b – конец интервала [a, b].

Вероятность попадания равномерно распределённой случайной величины в заданный интервал :

, (35)

где а – начало интервала [a, b];

b – конец интервала [a, b].

Пример: Случайная величина равномерно распределена на промежутке (3;10). Найти вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал (5;9). Найти для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО.

Решение: воспользуемся формулой (35) для нахождения вероятности того, что равномерно распределённая величина попадёт в заданный интервал:

= 4/7

Найдём для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО:

= 6,5

= 4, 083

= 2,0207

Ход работы

1) Ознакомиться с теоретической частью данной работы (лекции, учебники, данные методические указания).

2) Выполнить задание по своему варианту.

3) Составить отчет по проделанной работе.

4) Ответить на контрольные вопросы к данной работе.

5) Защитить выполненную работу.

Содержание отчета

1) Тема.

2) Цель работы.

3) Ход работы.

4) Решение своего варианта.

Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант №1

1. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших приборов в одном опыте.

2. Станок–автомат штампует детали. Вероятность того, что деталь окажется бракованной 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей бракованными окажутся а) ровно 4; б) меньше 4-х; в) больше 4-х.

3. Вероятность того, что стрелок попадёт при одном выстреле равна 0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнётся. Найти вероятность того, что промах произойдёт при 4-м выстреле. Найти для данного распределения его характеристики (математическое ожидание, дисперсию, СКО).

4. Автобусы некоторого маршрута ходят строго по расписанию с интервалом движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ждать автобус менее 3 минут. Для данного распределения найти математическое ожидание, дисперсию, СКО.

Вариант №2

1. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать биноминальный закон распределения ДСВ Х – числа нестандартных деталей среди четырёх отобранных.

2. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: а) ровно 3 изделия; б) меньше 3-х изделий; в) больше 3-х изделий.

3. Производится бросание игральной кости до первого выпадения 2-х очков. Найти вероятность того, что первое выпадение 2-х очков произойдёт при 4-м бросании игральной кости. Найти для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО,

4. Случайная величина равномерно распределена на промежутке (2;8). Найти вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал (3;5). Найти для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО.

Вариант №3

1. Написать биноминальный закон распределения ДСВ Х – числа появлений «орла» при 4-х бросаниях игральной кости.

2. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит: а) ровно три разбитые бутылки; б) меньше трёх разбитых бутылок; в) больше трёх разбитых бутылок.

3. Студент участвует в тестировании и проходит его до тех пор, пока не ошибётся. Вероятность правильного ответа студентом на вопрос тестирования равна 0,8. Найти вероятность того, что студент не ответит уже на 5-й вопрос. Найти для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО.

4. Автобус некоторого маршрута движется строго по расписанию с интервалом движения 6 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ждать автобус больше 4-х минут. Найти для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО.

Вариант №4

1. На предприятии установлено 3 аварийные сигнализации. Вероятность того, что сигнализация не сработает равна 0,2. Составить закон распределения числа отказавших сигнализаций при одном срабатывании.

2. Завод отправил на базу 800 изделий. Вероятность повреждения изделия при транспортировке 0, 001. Найти вероятность того, что на базу прибудет: а) ровно четыре повреждённых изделия; б) меньше четырёх повреждённых изделий; в) больше четырёх повреждённых изделий.

3. Производится бросание игральной кости до первого выпадения 4-х очков. Найти вероятность того, что 4 очка появятся при 4-м бросании игральной кости. Найти для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО.

4. Случайная величина равномерно распределена на промежутке (3;9). Найти вероятность того, что случайная величина попадёт в интервал (5;7). Найти для данного распределения математическое ожидание, дисперсию, СКО.

Вопросы к защите практической работы №7

1. Дать определение НСВ. Пример.

2. Какое распределение называется равномерным?

3. Формула равномерного распределения. График.

4. Как определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения?

5. Дать понятие геометрического распределения. Формула.

6. Какое распределение называется биноминальным?

7. Какое распределение называется распределением Пуассона?

Практическая работа №8

Тема: Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения.

Цель работы: Изучить методику вычисления вероятностей, характеристик НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения. Научиться вычислять математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение НСВ по её функции плотности, находить медиану и моду.