Інтерпретація формул логіки висловлювань

Приписування значень I або X атомарним формулам, що входять до складних формул, називають інтерпретацією.

Усі формули логіки висловлювань розділяються на тотожно істинні, тотожно хибні та нейтральні .

Означення 1.4.1.Формулу називають тотожно істинною (тавтологією, або загальнозначущою), якщо вона набуде значення “ Істина ” на всіх інтерпретаціях (наборах значень змінних).

Наприклад, висловлювання “ Він піде чи не піде в крамницю ” є тавтологією, оскільки або перше висловлювання, або друге обов’язково відбудеться.

Приклад 1.4.1.За допомогою таблиці істинності визначити істинність значення формули логіки висловлювання

.

Розв’язання. Будуємо таблицю істинності для заданої формули логіки висловлювання (табл. 1.4.1).

Таблиця 1.4.1

X	X	I	X	I
X	I	I	X	I
I	X	X	X	I
I	I	I	I	I

Із таблиці істинності випливає, що задане висловлювання “ Істинне ” на всіх чотирьох можливих наборах змінних цього висловлювання, тому воно є тавтологією.

Приклад 1.4.2. Довести, якщо висловлювання і тавтології, то теж тавтологія.

Розв’язання. За умовою висловлювання і – тавтології. Нехай при деякому розподілі значень істинності для пропозиційних змінних, які входять в і , набуває значення “Хибність”. Але оскільки є тавтологія, то при тому самому розподілі значень істинності набуває значення “Істинно”. Тоді висловлювання набуває значення “Хибність”, але це є суперечністю, тому що є тавтологією.

Означення 1.4.2.Формулу називають тотожно хибною (суперечною,або нездійсненною), якщо вона набуває значення “ Хибність ” на всіх інтерпретаціях (наборах значень змінних).

Наприклад, висловлювання “Вона рухається в напрямку до школи і вона не рухається в напрямку до школи” є суперечливими, оскільки неможливо одночасно робити і те й інше. Тобто це висловлювання є тотожно хибним.

Приклад 1.4.3. За допомогою таблиці істинності визначити, чи є тотожно хибною формула .

Розв’язання. Будуємо таблицю істинності для заданої формули логічного висловлювання (табл. 1.4.2).

Таблиця 1.4.2

X	X	I	I	I	X	X
X	I	I	I	X	I	X
I	X	X	X	I	I	X
I	I	I	X	X	I	X

Із таблиці істинності випливає, що висловлювання, задане формулою, набуває значення “ Хибність ” на всіх чотирьох можливих наборах змінних цього висловлювання, тобто є тотожно хибним.

Означення 1.4.3.Формулу називають нейтральною (не загальнозначущою, або несуперечливою), якщо вона на одних інтерпретаціях набуває значення “Істина”, а на інших “ Хибність ”.

Приклад 1.4.4. За допомогою таблиці істинності визначити, чи є нейтральною формула .

Розв’язання. Будуємо таблицю істинності за заданою формулою логічного висловлювання (табл. 1.4.3).

Таблиця 1.4.3

X	X	I	X	I
X	I	I	I	I
I	X	X	I	X
I	I	I	I	I

Із таблиці істинності випливає, що висловлювання, задане логічною формулою, набуває на різних інтерпретаціях два значення “ Істина ” чи “ Хибність ”. Тому формула логічного висловлювання є нейтральною.

Особлива роль в алгебрі висловлень належить тотожно істинним формулам як способам правильних умовиводів, що від істинних посилань приводять до істинних висновків. Для доведення, що наведені формули є тавтологіями, достатньо застосувати таблиці істинності.

Наведемо приклади таких формул:

Означення 1.4.4. Міркуванняназивають правильним, якщо воно виражається тотожно істинною формулою.

Для перевірки правильності міркування будують відповідно до нього формулу і визначають, чи є вона тотожно істинною. Істинність формули можна перевірити або за допомогою таблиці істинності, де на всіх інтерпретаціях вона набуває значення “ Істина ”, або за допомогою тотожних перетворень, звівши їх до вигляду одного із логічних законів, де одержують теж значення “ Істина ”, що відповідно до формули міркування є тавтологією.

Означення 1.4.5.Формули алгебри висловлень α(А₁, А₂,…,А_n) i β(А₁, А₂,…,А_n) називаються рівносильними (логічно еквівалентними), якщо значення істинності формули α збігається зі значенням істинності формули β.