Задачи для самостоятельного решения. 2.1. Случайный эксперимент состоит в трехкратном бросании монеты

2.1. Случайный эксперимент состоит в трехкратном бросании монеты. Построить пространство элементарных исходов.

2.2. Игральный кубик бросается дважды. Описать из каких элементарных событий состоят:

1) пространство элементарных событий;

2) событие А: сумма выпавших очков – четная;

3) событие В: первое выпавшее число – четное;

4) событие А+В;

5) событие АВ;

6) события .

2.3. Эксперимент состоит в подбрасывании один раз игрального кубика. Обозначим через Х – число очков, выпавших на верхней грани. Нужно:

1) описать пространство элементарных событий;

2) указать элементарные события, из которых состоят следующие события:

A – Х кратно 3;

B – Х – нечетное число;

С – Х > 3;

D – Х < 7;

Е – Х – правильная дробь;

K – 0,5 < Х < 1,5;

M – 1 < Х < 4;

3) для событий из пункта 2) указать пары совместных и несовместных событий, полную группу событий, описать следующие события: .

2.4. Стреляют два стрелка по некоторой цели. Событие А₁ – первый стрелок попал, событие А₂ – второй стрелок попал. Построить пространство элементарных событий и выразить через А₁ и А₂ следующие события:

В – оба стрелка попали;

С – попал хотя бы один стрелок;

D – попал только один стрелок.

2.5. Производится 3 выстрела из орудия по цели. События A_k – попадание при k –ом выстреле (k = 1, 2, 3).

1) Выяснить состав пространства элементарных событий, записав соответствующие элементарные события через A_k.

2) Записать через события A_k следующие события:

А – ровно одно попадание;

В – хотя бы одно попадание;

С – хотя бы один промах;

D – не менее двух попаданий;

Е – попадание не раньше, чем при третьем выстреле.

2.6. Событие A – хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, событие В – все приборы исправные. Что означают события А+В и АВ?

2.7. Электрическая цепь составлена по схеме:

Выход из строя элемента а – событие А, элемента b – событие В, элемента с – событие С. Записать события D и , если D означает разрыв цепи.

2.8. Пусть А, В, и С – произвольные случайные события. Выразить через А, В, С и события, им противоположные, следующие события:

D₁ – произошли все три события А, В, С;

D₂ – произошло хотя бы одно из этих трех событий;

D₃ – произошли хотя бы два из этих трех событий;

D₄ – произошли два и только два из этих трех событий;

D₅ – произошло только одно из этих трех событий;

D₆ – не произошло ни одно из этих трех событий;

D₇ – произошло не более двух из этих трех событий.

2.9. Стреляют три стрелка. Событие А – первый стрелок попал, событие В – второй стрелок попал, С – третий стрелок попал. Что означают события: .

2.10. Прибор состоит из трех блоков первого типа и четырех блоков второго типа. События A_i (i =1, 2, 3) – исправлен i-ый блок первого типа, В_j (j =1, 2, 3, 4) – исправлен j-ый блок второго типа. Прибор работает, если исправлен хотя бы один блок первого типа и не менее трех блоков второго типа. Выразить через определенные выше события A_i (i =1, 2, 3) и В_j (j =1, 2, 3, 4) событие С – прибор работает.

2.11. В каждом из следующих примеров определить являются ли несовместными в данном испытании предложенные события:

1) Испытание: два выстрела по цели;

А – ни одного попадания;

В – одно попадание;

С – два попадания.

2) Испытание: бросание двух монет;

А – герб на первой монете;

В – герб на второй монете.

3) Испытание: передача трех сообщений по радио;

А – в первом сообщении есть ошибка;

В – во втором сообщении есть ошибка;

С – в первом сообщении есть ошибка, а в третьем нет ошибки.

2.12. В каждом из следующих примеров указать, образуют ли предлагаемые события в данном испытании полную группу. Если нет, то определить, какое условие нарушено или каких событий не хватает до полной группы:

1) Испытание: один бросок монеты;

А – выпал герб;

В – выпала цифра.

2) Испытание: один бросок двух игральных кубиков;

А – на обоих кубиках выпало три очка;

В – ни на одном кубике не выпало трех очков;

С – на одном кубике выпало три очка, а на другом не выпало трех очков.

3) Испытание: передача двух сигналов по каналу связи;

А – два сигнала искажены;

В – два сигнала не искажены.

4) Испытание: эксплуатация двух приборов в течение определенного времени;

А – хотя бы один прибор вышел из строя;

В – не вышел из строя только один прибор.

5) Испытание: передача трех сигналов по каналу связи;

А – все три сигнала переданы без ошибок;

В – все три сигнала переданы с ошибками;

С – два сигнала переданы с ошибками, одно – без ошибок.

2.13. Назвать противоположные события для следующих событий:

А – выпадение двух гербов при бросании двух монет;

В – выбор белого шара, если выбирается один шар из урны, в которой лежат черные, белые и красные шары;

С – пять попаданий при пяти выстрелах;

D – не более трех попаданий при пяти выстрелах;

Е – хотя бы одно попадание при пяти выстрелах.

2.14. Относительно каждой из групп событий ответить на следующие вопросы: являются ли события несовместными; образую ли они полную группу; являются ли они равновозможными:

1) Испытание: бросание двух монет;

А – выпало два герба;

В – выпали две решки;

С – выпал один герб и одна решка.

2) Испытание: один бросок игрального кубика;

А – выпадение одного или двух очков;

В – выпадение двух или трех очков;

С – выпадение трех или четырех очков;

D – выпадение четырех или пяти очков;

Е – выпадение пяти или шести очков.

2.15. Из таблицы случайных чисел наудачу взято число. Рассмотрим два события:

А – число делится на 5;

В – число оканчивается нулем.

Что означают события: ?

2.16. Рабочий берет три детали из ящика. События

А – хотя бы одна из трех деталей бракованная;

В – не менее двух деталей из трех бракованные.

Что означают события:

2.17. Экзаменационный билет содержит три вопроса. События

А – студент знает ответ на первый вопрос;

В – студент знает ответ на второй вопрос;

С – студент знает ответ на третий вопрос;

D – студент сдал экзамен.

Студент сдает экзамен, если знает ответ, хотя бы на два вопроса. Выразить событие D через А, В, С.

2.18. Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину до первого попадания. Выигрывает тот, кто первым забросит мяч. События

А_к – первый попадает при к-ом броске;

В_т – второй попадает при т-ом броске.

Записать через А_к и В_т событие А – выиграет первый; событие В – выиграет второй.

2.19. Посетитель входит в зал музея, где уже есть три человека. События А_к – к-ый посетитель из трех знакомый (к = 1, 2, 3); В – среди трех посетителей хотя бы один знакомы. Записать событие В через А_к.

2.20. Турист из пункта А в пункт В может попасть двумя дорогами. Обозначим события:

А₁ – турист пошел первой дорогой из А в В;

А₂ – турист пошел второй дорогой из А в В.

Из пункта В в пункт С ведут три дороги. Обозначим события:

В₁ – турист пошел первой дорогой из В в С;

В₂ – турист пошел второй дорогой из В в С;

В₃ – турист пошел третьей дорогой из В в С.

Выразить события К₁, К₂, К₃, К₄ через вышеуказанные события и им противоположные, если

К₁ – турист выбрал дорогу от А до В наугад, а от В до С пошел третьей дорогой;

К₂ – турист от А до В пошел первой дорогой, а от В до С дорогой, выбранной наугад;

К₃ – турист от А до В пошел не первой дорогой, а от В до С пошел не третьей дорогой;

К₄ – турист дошел от А до С.

2.21. Доказать следующие равенства (можно геометрически) для произвольных событий А, В, С:

2.22. При каких условиях имеют место равенства:

2.23. Справедливы ли равенства:

2.24. Упростите выражения:

2.25. В ящике имеются шары трех цветов: белые, черные, красные. Обозначим события:

А – наугад выбранный шар белый;

В – наугад выбранный шар черный;

С – наугад выбранный шар красный

Проверить правильность равенств: .

2.26. Найти случайное событие Х из равенства .

2.27. Электрическая цепь составлена по следующей схеме

События А_к – элемент с номером к вышел из строя, к = 1, 2, 3, 4. Событие В означает разрыв цепи. Выразить В через А_к .

2.28. В урне находятся 4 белых и 15 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу взятый шар окажется белым?

2.29. В урне 4 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад выбираются два шара. Найти вероятность того, что

1) оба шара белые;

2) оба шара черные;

3) один шар белый и один шар черный.

2.30. В партии деталей из 10 штук имеются шесть бракованных. Наудачу вынимаются три детали. Определить вероятности событий:

А – все три детали бракованные;

В – все три детали доброкачественные;

С – две детали доброкачественные, одна бракованная;

D – одна деталь доброкачественная, две бракованные.

2.31. Среди 25 учащихся группы, в которой 4 девушки, остальные - юноши, разыгрываются пять лотерейных билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся только две девушки.

2.32. На десяти карточках написаны буквы А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И, К. После перестановки вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают их в том порядке, в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово «математика».

2.33. 25 экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 45 вопросов. Какова вероятность того, что вынутый экзаменующимся билет состоит из подготовленных им вопросов.

2.34. В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров. Известно, что шесть штук из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берет первые попавшиеся пять штук. Какова вероятность того, что два из них нуждаются в общей регулировке.

2.35. Из партии, состоящей из 15 радиоприемников, случайно для проверки отбирают три приемника. Партия содержит пять неисправных приемников. Какова вероятность того, что в число отобранных войдут:

1) только исправные приемники;

2) только неисправные приемники;

3) один неисправный и два исправных приемника?

2.36. В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102, …, 120 и произвольно расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает две карты. Найти вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.

2.37. В ящике имеется 16 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик случайным образом извлекает три детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.

2.38. Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру и набрал ее наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

2.39. На складе имеется 18 кинескопов, причем 13 из них изготовлены Московским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти наудачу взятых кинескопов окажутся три кинескопа Московского завода.

2.40. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства случайны образом включаются два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

2.41. 10 футбольных команд разбиты жеребьевкой на две подгруппы по пять команд в каждой. Среди них имеются две сильные команды. Определить вероятность событий:

А – сильные команды оказались в разных подгруппах;

В – сильные команды оказались в одной подгруппе.

2.42. Электронное устройство состоит из пяти элементов и работает нормально, если исправны все элементы. При сборке устройства элементы выбираются из партии объема 100. Все способы выбора пяти элементов равновероятны. В партии 95 исправных и 5 неисправных элементов. Определить вероятность того, что устройство работает нормально.

2.43. Взвод солдат из 36 человек состоит из 20 артиллеристов и 16 пехотинцев. Из взвода наугад отбирают шесть человек. Какова вероятность того, что среди отобранных два человека будут пехотинцы?

2.44. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

2.45. У сборщика 12 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них пять – первого вида, четыре – второго и три – третьего. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, две – второго и одна – третьего?

2.46. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится четырехтомник А.П.Чехова. Предполагая, что различные расположения книг равновероятны, найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания слева направо (но не обязательно рядом).

2.47. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли пять человек. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность того, что:

1) все пассажиры выйдут на одном и том же этаже;

2) все пассажиры выйдут на четвертом этаже;

3) все пассажиры выйдут на разных этажах.

2.48. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

2.49. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг, квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в квадрат пропорциональна площади квадрата и не зависит от его расположения относительно круга.

2.50. В книжном магазине на полке 10 различных книг, причем пять книг стоят по 40 рублей каждая, 3 книги по 10 рублей и две книги по 30 рублей. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 50 рублей.

2.51. Два друга Антон и Иван договорились встретить Новый год в компании из 10 человек. Они оба хотели сидеть за праздничным столом рядом. Найти вероятность исполнения их желания, если среди друзей принято места распределять по жребию.

2.52. Группа студентов из 8 человек садится в пригородный электропоезд, насчитывающий 10 вагонов. Предположим, что каждый из студентов выбирает свой вагон совершенно случайно и с одинаковой вероятностью оказывается в любом из вагонов. Какова вероятность того, что все студенты попадут в разные вагоны?

2.53. В библиотеке имеются книги по математике, эконометрике, экономическому анализу, менеджменту и т.д., всего по 16 разделам науки. Поступили очередные 4 заказа на литературу. Считая, что любой состав заказанной литературы равновозможен, найти вероятности следующих событий:

А – заказаны книги из разных разделов науки;

В – заказаны книги из одного и того же раздела науки.