Соответствие между множествами. Понятие функции
Пусть 
– произвольные множества. Декартово произведение множеств 
и 
(обозначается как 
) – это множество всех упорядоченных пар 
таких, что 
.
Пример 2. При записи шахматной партии используются множества
–для обозначения вертикалей, 
–для обозначения горизонталей. Поля шахматной доски обозначаются с помощью элементов множества 
. ■
Можно построить декартово произведение произвольного числа множеств:
.
Упорядоченный набор элементов 
будем далее называть вектором. Компоненты 
будем называть проекциями вектора: 
Рассматривая частный случай декартова произведения при 
, получим множество 
.
Используя понятие декартова произведения, определим соответствие между множествами 
как упорядоченную тройку множеств:
(2)
Множество 
, которое состоит из векторов 
, называется графиком соответствия. Зададим область определения соответствия как множество
и область значений соответствия как множество
.
Пусть теперь 
– произвольный фиксированный элемент множества 
. Элемент 
называется образом элемента при данном соответствии, если 
. Если при данном соответствии каждый элемент из области определения имеет единственный образ, то соответствие называют функцией.
В дальнейшем изложении встретятся функции многих переменных, то есть функции, для которых множество из (2) само является декартовым произведением: 
. Компоненты вектора 
являются в этом случае независимыми переменными (аргументами). Обозначать такие функции будем как 
или 
.
Пример 3. Расстояние точки на координатной плоскости от начала координат может быть задано функцией f:R2 → R, которая представлена формулой 
■