Теорема сложения вероятностей совместных событий

Пусть в некотором испытании рассматриваются два совместных случайных события А и В, вероятности которых известны или могут быть найдены.

Теорема 3.6. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е.

(3.10)

Доказательство. Очевидно, что сумма случайных событий А+В произойдет тогда, когда произойдет одно из следующих трех несовместных событий: , т.е. . По теореме 3.1 получим

(*)

Событие А состоит из суммы двух несовместных событий: , т.е. и, следовательно, . Выразим из последнего равенства , получим

(**)

Аналогично, событие В состоит из суммы двух несовместных событий: , т.е. и, следовательно, . Выразим из последнего равенства , получим

(***)

Подставим (**) и (***) в формулу (*), получим

Теорема доказана.

Замечание 1. Формулу (3.10) можно использовать не только для совместных, но и для несовместных событий. Если события А и В несовместны, то очевидно, что их произведение является невозможным событием, вероятность невозможного события равна нулю. Таким образом, формула (3.10) преобразуется в уже известную формулу (3.1): .

Замечание 2. Формула 3.10 применяется как для независимых, так и для зависимых событий. Отличие состоит в нахождении вероятности произведения событий, а именно,

, если А и В – независимые события;

, если А и В – зависимые события.

Пример 3.7. Два футболиста делают независимо друг от друга по одному удару по воротам. Вероятность попадания первого равна 0,8; второго – 0,9. Найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно попадание.

Решение. Пусть событие А означает попадание первого футболиста, событие В – попадание второго футболиста. Тогда событие А+В означает, что произойдет хотя бы одно попадание. По теореме 3.6, получим

. ■

Пример 3.7 может быть решен и по другому. Пусть С=А+В. Тогда, очевидно, что событие, противоположное событию С, будет . По формуле (3.4) получим или

(3.11)

Для примера 3.7 получим и . Тогда .

Существует более общая формула для нахождения вероятности суммы трех и большего числа совместных событий. Например, для трех событий А, В и С она имеет вид:

.

Если число событий больше трех, то формула вероятности суммы событий еще более усложняется, поэтому стараются обойтись без нее. Для этого существует два пути:

− последовательно складывать события с применением формулы (3.10), т.е. вычислять , затем и т.д.

− перейти к противоположному событию, т.е. использовать формулу аналогичную формуле (3.11).

Пример 3.8. Каждый из четырех стрелков независимо друг от друга производит по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания стрелков равны 0,7; 0,6; 0,8 и 0,4. Определить вероятность того, что произойдет хотя бы одно попадание.

Решение. Введем в рассмотрение следующие события:

А₁ – попадет первый стрелок;

А₂ – попадет второй стрелок;

А₃ – попадет третий стрелок;

А₄ – попадет четвертый стрелок.

По условию примера необходимо определить . Найдем эту вероятность двумя способами.

В первом случае будем последовательно складывать события и применять формулу (3.10), получим

Во втором случае перейдем к противоположному событию. Для события противоположным является событие , состоящее в том, что все четыре стрелка промахнутся. Так как вероятности промаха для каждого стрелка равны

,

то . ■

Обобщая все вышеизложенное можно сформулировать следующее правило: если требуется найти вероятность суммы конечного числа совместных событий, при этом, известно, что противоположное к сумме событие состоит из меньшего числа исходов, то лучше вначале найти вероятность противоположного события, а затем прямого. Один из признаков, по которому