Физико-математическая модель удара

В испытательной лаборатории при предприятии, выпускающем силомеры, в процессе длительных экспериментальных и научных изысканий была создана физико-математическая модель удара человека по упругой мишени. С помощью этой модели можно точно описать и понять весь процесс соударения и объяснить форму ударного импульса.

В качестве модели бьющего человека берется система трех тел, летящих друг за другом и имеющих между собой упругую связь K1 и K2. Первое тело массой m – это кисть с предплечьем (до локтевого сустава) или стопа с голенью. Второе тело массой m1 – это плечо или бедро. Третье тело массой m2 – это часть массы туловища, участвующая в ударе. В момент удара силой мышц человека создается жесткая упругая связь K2, благодаря которой медленная, но относительно большая масса m2 поможет сначала разогнать до максимальных скоростей бьющую конечность, а затем и примет непосредственное участие в ударе, передавая свой импульс и энергию мишени.

Рис. 1. Модель человека, бьющего по упругому мешку.

В зависимости от жесткости связи K1 появляются два варианта развития событий, которые определяют два типа ударов в боксе – прямой и боковой.

Упругую поверхность мишени можно представить как покрытие, состоящее из множества пружинок жесткостью K0. Тогда закон Гука при площади ударной поверхности S примет вид:

F = nK0X = SXK0/S0 = SXK = KSX

Здесь n – количество пружинок на площади S; S0 – площадь, занимаемая одной пружинкой; X – величина деформации; K = K0/S0 – жесткость на единицу площади (удельная жесткость поверхности). Известно, что столкновение тела массой m с упругой стенкой можно описать дифференциальным уравнением гармонических колебаний

В случае столкновения двух тел массами m и M уравнение примет вид:

или, в общем виде,

где

Решение этого уравнения при заданных начальных условиях (при t = 0, dX/dt = v) известно:

X = (v/ ) sin( t).

Максимальное значение F (сила удара) в этом случае будет равна

Fmax = KSXmax = KSv/ ,

а время соударения T = /. Получаем две важные формулы:

Замечание. формулы (1) и (2) получены для идеального случая, когда ударная воронка на поверхности мишени имеет цилиндрическую форму. Однако на практике ударная воронка имеет более сложные формы. Ввиду этого формула (1) для расчета силы удара имеет вид

Величина C изменяется от 0 (всегда больше нуля) до 1, и в случае с идеальной цилиндрической воронкой равна 1. Для других форм воронок она может быть вычислена исходя из того, что при M>>m в момент возникновения максимальной силы удара потенциальная энергия всех сжатых пружин воронки (она рассчитывается как сумма потенциальных энергий всех пружин, каждая из которых сжимается по-разному в зависимости от формы ударного тела) равна исходной кинетической энергии ударного тела. Отсюда можно найти максимальную глубину воронки, а затем и суммарную силу (как сумму сил сжатия всех пружин). Коэффициент C при этом стоит в подкоренном выражении, как в формуле (1a). Так, например, рассчитано, что для воронки в форме правильного конуса C = 2/3, для правильного полушара C = 8/9. Учитывая, что эта величина стоит под корнем, можно утверждать, что форма воронки сказывается на силе удара не столь значительно. Поэтому дальнейшие рассуждения для простоты продолжим для идеальной цилиндрической ударной воронки.

Перемножая формулы (1) и (2), получаем третье соотношение:

(3)

или

где Р – импульс мешка при упругом столкновении:

P = 2FmaxT/ (4)

Разделив друг на друга формулы (1) и (2), получим еще одно соотношение:

Fmax = KSTv/ (5)

Формула (1) объясняет, что сила удара зависит от скорости ударной конечности, ее размеров и массы, а также от массы и жесткости мешка.

Если M>5m, то для всех мешков массой от 5m до бесконечности сила удара не изменится более чем на 10% (при одинаковых параметрах ударной конечности). При изменении жесткости мешка в пределах 20% сила удара меняется не более чем на 10%. При увеличении жесткости мешка более чем на 20% существенно возрастает вероятность травматизма при ударах рукой. Для ударов ногой жесткость мешка можно поднять на 50–70%. В этом случае сила удара возрастает на 25–30%. В зависимости от весовой категории спортсмена сила удара за счет размеров и массы ударной конечности может различаться более чем в 2 раза.

С помощью формулы (2), измеряя время соударения, можно вычислить жесткость мешка KS и его удельную жесткость K.

По формуле (5), зная силу удара, время соударения и жесткость мешка, можно оценить скорость ударной конечности в момент удара. Скорость ударной конечности можно также определить и из формулы (3), зная импульс мешка (силу удара и время соударения), его массу и массу ударной конечности.

Рассмотрим форму ударного импульса бокового и прямого удара профессионала (ряд 1, 2) и любителя (ряд 3, 4):

Рис. 2. Формы ударных импульсов для различных ударов и спортсменов.

Разложим графически боковой и прямой удар боксера на составляющие, чтобы оценить вклад каждого тела в удар. Получим следующие графики:

Рис. 3. Разложение на составляющие бокового удара профессионального боксера.

Рис. 4. Разложение на составляющие прямого удара профессионального боксера.

Из графиков ударов и вышеприведенных формул можно сделать следующие выводы:

1. Время нарастания удара t определяется только массами первого и второго тела и жесткостью связи между ними. Третье тело на t влиять не может.

2. При прямом ударе профессионала время нарастания удара t максимально и составляет примерно 10 мс. Это означает присутствие жесткой связи между первым и вторым телом в момент удара. Первое и второе тело ведут себя как единое целое массой (m+m1). Время t максимально.

3. При боковом ударе упругая связь между первым и вторым телом становится значительно слабее, и сила удара на 80% определяется ударом первого тела. При этом время нарастания удара t уменьшается в полтора раза (так как m и m1 примерно равны). Так как упругость связи между первым и вторым телом становится сравнима с упругостью мешка, на графике ударного импульса наблюдается картина затухающих биений.

4. Зная из графика время нарастания удара, можно оценить удельную жесткость мешка:

При массе руки m = 2 кг, площади ударной поверхности кулака S = 40–45 см2 и времени соударения Т = 2t = 0,012 с (t = 6 мс – время нарастания удара) значение K составляет 3000 кг/(с2•см2).

5. У профессионала скорость кулака при боковом ударе более чем в два раза выше, чем при прямом. Так как, согласно формуле (3),

то, учитывая вклад в силу каждого тела, получаем в случае прямого удара v = 5,5 м/с, а при боковом ударе – v = 12 м/с.

6. Вклад третьего тела в значение максимальной силы удара незначителен – 10–15%. Однако велик его вклад в импульс и в энергию удара: вклад в импульс – до 50% при боковом ударе и до 100% при прямом. Соответственно, прирост энергии удара за счет третьего тела увеличивается при боковом ударе более чем в два раза и более чем в три раза при прямом.

Анализируя видео-ролик на странице «Тренажер в действии», также легко понять, что сила удара пропорциональна общему времени соударения (для конкретного вида ударов). Но время соударения пропорционально ударной массе. Отсюда вывод – максимальную скорость ударяющей конечности, которая определит рекордную силу удара, можно получить, только подключив при ударе как можно большую массу тела.

7. Из графиков видно, что при боковом ударе из-за слабой связи K1 вклад третьего тела в импульс и энергию удара существенно ниже, чем при прямом, но все это с успехом компенсируется вторым телом. Импульс же, сообщенный мешку при боковом ударе первым телом, практически оказался равным импульсу от тела, образованного первым и вторым при прямом ударе. Таким образом, максимальные значения импульса и энергии прямых и боковых ударов отличаются несущественно.

8. Зная зависимость времени соударения от ударной массы, можно оценить массу третьего тела, участвующего в ударе. При общем времени соударения 40 мс это будет примерно 28 кг. А общая задействованная при ударах рукой масса в данном случае составляет не менее 32 кг (50% массы спортсмена).

9. Анализируя удары, видно, что прямой и боковые удары любителя совсем мало отличается друг от друга. Они как бы занимают промежуточные значения между правильными прямым и боковым ударами профессионала. При этом у любителей легких весовых категорий прямые и боковые удары смещены в сторону правильного бокового удара (недостаточно жесткости при нанесении прямых ударов), а у любителей средней весовой категории наблюдается смещение в сторону прямого удара (избыточная жесткость при нанесении боковых ударов).

10. Оказалось, что скорость нарастания удара (она пропорциональна силе удара и скорости ударной конечности) сильно зависит от типа удара и его правильности. Поэтому контролировать правильность удара проще всего, анализируя время нарастания ударного импульса, так как оно не зависит от скорости и силы удара.

Если выводить на индикацию само время нарастания удара, то для правильных боковых ударов оно должно быть минимально, а для правильных прямых наоборот максимально. Различие это должно составлять 40–60%.