Прямое (декартово) произведение множеств

Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое A Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru B (читается «А прямо на В»), которое состоит из всех упорядоченных пар вида (a,b), где элемент а пробегает все множество А, элемент b пробегает все множество В, т.е. А Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru В= Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru . Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru

Пример 1. Пусть A= Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru , B= Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru .

Найти A Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru B, B Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru A.

Решение: Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru

Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru

Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru , т. е. операция Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru не является коммутативной.

Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru .

Определение 12. Упорядоченная n-ка вида (a1,a2,..,an) называется кортэжем длины n.

Определение 13. Прямым (декартовым) произведением множеств A1,A2,..,An называется множество всех кортэжей длины n вида (a1,a2,..,an), где ai прoбегает все множество Ai , i= Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru , и обозначается A1 Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru A2 Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru An или Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru Ai , т.е. A1 Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru An = Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru .

Пусть Ai , Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru , - совокупность множеств. Тогда Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru - декартово произведение множеств.

Замечание 1. Множество Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru называется n-й прямой степенью множества A, и обозначается Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru , т.е. Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru В частности, Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru - декартов квадрат множества A.

Бинарные отношения

Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.

В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерами отношений являются:

1) « Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru » - на множестве ℝ.

2) « Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru » - на множестве P(U).

3) « Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru » - между множеством всех точек плоскости и множеством всех прямых:

           
    Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru
  Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru   Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru
 
 

Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru M Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru N Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru K

Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru a b c

Упорядоченные пары (M,a),(N,b),(K,c) удовлетворяют условию третьего пункта, а (M,b) не удовлетворяет условию третьего пункта.

Для того, чтобы определить бинарное отношение, достаточно задать множество объектов, для которых имеет смысл говорить о данном отношении, и выбрать из него те пары объектов, которые удовлетворяют рассматриваемому отношению.

Определение 15. Бинарным отношением между множествами A и B называется всякое подмножество множества Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru .

Бинарные отношения обозначают следующим образом: Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru . Если Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru , то Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru называется бинарным отношением на множестве A.

Замечание 1. Если Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru , где Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru , то говорят, что элемент Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru находится в отношении Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru с элементом Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru , и часто пишут Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru , т.е. Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru .

Определение 16. Пусть R – бинарное отношение между множествами A и B. Областью определения бинарного отношения R называется множество первых координат всех пар из R, и обозначается DomR, т.е. Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru .

Определение 17. Пусть R – бинарное отношение между множествами A и B. Областью значений бинарного отношения R называется множество вторых координат всех пар из R, и обозначается Im R, т.е. Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru .

Определение 18. Пусть R – бинарное отношение между множествами A и B. Множество D(R)= Dom R Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru Im R называется областью отношений бинарного отношения R.

Определение 19. Пусть Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru - множества. n-арным отношением между множествами Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru называется всякое подмножество множества Прямое (декартово) произведение множеств - student2.ru .

При n=1 мы получаем унарные отношения, при n=2 - бинарные отношения, при n=3 – тернарные отношения.

Наши рекомендации