Социальное пространство: искривление

Обратимся вначале к исходным представлениям, а именно: к геометрии и математике, где сформировалось понимание кривизны пространства в чи­стом виде, а затем распространилось на другие науки. Специалисты скажут, что в римановой геометрии кривизна представляет собой меру отклонения так называемых римановых пространств от евклидовых. Кривизна простран­ства в геометриях Лобачевского и Римана растет обратно пропорционально квадрату расстояния.

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — многомерное обобщение геометрии на поверхности (т.е. геометрии двумерного пространства). Изучает свойства многомерных пространств, в малых областях которых имеет место (с точностью до бесконечно малых второго порядка) евклидова геометрия (при этом все пространство может не быть евклидовым). Названа по имени Б. Римана, заложившего ее осно­вы в 1854 г.

Кривизна и искривленная поверхность позволяют социологу наглядно изобразить нормальное и ненормальное (отклоняющееся) состояние соци­ального пространства.

Согласно А. Эйнштейну, кривизна пространства-времени пропорцио­нальна плотности энергии — импульса вещества, порождающего гравитаци­онное поле. Это понятие — неотъемлемая часть релятивистской теории тя­готения — общей теории относительности Эйнштейна (1916). При этом уве­личение кривизны вызывает уменьшение скорости света, а уменьшение скорости света — увеличение кривизны пространства.

Геометрическое изображениефизического пространства Вселенной чаще всего передается на плоскости при помощи геодезических линий и теории П.Л. Чебышева. Как известно, координатными линиями называются линии, относительно которых определяется положение точки на плоскости, повер­хности и в пространстве. Совокупность координатных линий образует сеть. Такая сеть, в которой противоположные стороны образуемого ею криволи­нейного четырехугольника имеют одинаковую длину, и называется чебышев-ской сетью. Чебышев изложил теорию таких сетей в работе «О кройке пла­тья» (1878), где дал набросок решения интересных задач теории поверхностей с помощью принципов общей теории поверхностей, указанных К.Ф. Гаус­сом. Чебышев увидел в ткани способность в определенных условиях стано­виться сетью поверхности. В своих научных трудах он подробно рассмотрел эти условия с целью использования сетчатой структуры для построения раз­верток деталей одежды. Чебышевская сеть состоит из двух семейств линий, которые при пересечении образуют четырехугольники или параллелограм­мы с равными противоположными сторонами. Эта сеть может быть образо­вана на любой поверхности, с ее помощью можно исследовать поверхности и аналитически рассчитывать их развертки. При рассмотрении ткани вид­но, что на плоскости ее нити образуют сеть прямоугольников с равными параллельными сторонами. Если к ткани приложить небольшие растягива­ющие усилия, направленные под углом к нитям, ее элементарные прямо­угольники преобразуются в параллелограммы.

Метод чебышевских сетей широко применяется в науке и технике. С по­мощью этого метода можно изобразить искривление физического простран­ства, проектировать сложные тентовые покрытия при строительстве зданий и сооружений из железобетона, каркасы судов, рассчитывать конструкции парашютов.

Определение поверхности.Любой однозначной функции двух переменных можно поставить во взаимно однозначное соответствие поверх­ность (ее график), погруженную в обычное евклидово пространство R?, с де­картовыми координатами х, у, w. Соответственно, в цилиндрических коор­динатах поверхность будет описываться функцией(рис.17). Такой способ задания поверхности называют явным. Координаты — это чис­ла, определяющие положение точки в пространстве и во времени.

На поверхности можно вводить криволинейную сетку поверхностных ко­ординат. Например, /_х, /_у — поверхностные криволинейные координаты, ко­торые получаются в результате сечения поверхности семейством вертикаль­ных плоскостей wOxh wOy(cu. рис. 16). Задаваемые таким способом на по­верхности криволинейные координаты являются в общем случае косоугольными. Углы между координатными линиями на поверхности не всегда прямые, как в случае ортогональных координат (http://ktf.krk.ru).

В физическом пространствепрямолинейность или кривизну поверхности задает распределение гравитационной массы: равномерное распределение

дает правильный образ, неравномерное — искривленный. О втором качестве гравитации ученые догадались довольно поздно. И. Ньютон считал, что гра­витация распространяется мгновенно, тяготение сродни электрическому вза­имодействию, свет имеет корпускулярную природу, существует абсолютная среда распространения света — эфир, ускорение носит абсолютный характер, проявляющийся в абсолютном пространстве. Великий англичанин полагал, что поверхность пространства имеет правильный геометрический образ — на­подобие разлинованной в клеточку школьной тетради.

Рис. 17. График поверхности в декартовых координатах

Только через полторы сотни лет великий немецкий физик Эйнштейн до­казал и убедил мировую общественность в том, что у физического простран­ства на самом деле не одно, а два состояния — правильное и искривленное. Он применил более сложный математический аппарат, чем Ньютон, поэто­му увидел такие детали, которые были скрыты от взгляда его предшествен­ников. Кроме того, и философия у двух физиков была разной: Ньютон счи­тал пространство и время двумя различными сущностями, а Эйнштейн уви­дел в них две стороны одного целого. Эйнштейн моделировал гравитацию с помощью матричной математики как кривизну пространства-времени, а инерцию рассматривал как частный случай эквивалентности гравитации. Абсолютный характер ускорения исчез.

Согласно теории Эйнштейна, гравитация способна «искривлять» время и пространство. Это означает, что в искривленном пространстве законы евкли­довой геометрии не действуют, так же как двумерная плоскостная геометрия не может быть применена на поверхности сферы. Например, на плоскости можно нарисовать квадрат следующим образом: отмерить 1 м на прямой, от полученной точки отложить прямой угол и снова отмерить 1 м, затем отло­жить еще один прямой угол и снова отмерить 1 м, наконец, в третий раз отло­жить прямой угол и, вернувшись в исходную точку, получить квадрат. Одна­ко на поверхности шара эти правила не действуют. Точно таким же образом евклидова геометрия бесполезна в искривленном трехмерном пространстве.

В картине мира современной физики фундаментальную роль играет прин­цип эквивалентности, согласно которому поле тяготения в небольшой обла­сти пространства и времени (в которой его можно считать однородным и по­стоянным во времени) по своему проявлению тождественно ускоренной си­стеме отсчета. В соответствии с ним общая теория относительности трактует тяготение как искривление (отличие геометрии от евклидовой) четырехмер­ного пространственно-временного континуума. В любой конечной области пространство оказывается искривленным — неевклидовым. Это означает, что в трехмерном пространстве геометрия, вообще говоря, будет неевклидовой, а время в разных точках будет течь по-разному.

Кривизна пространства определяется полем тяготения. Можно сказать больше: поле тяготения является не чем иным, как отклонением свойств ре­ального пространства от свойств идеального евклидова пространства. Поле тяготения в каждой точке определяется кривизной пространства в этой точ­ке. Таким образом, движение материальной точки в поле тяготения можно рассматривать как свободное «инерциальное» движение, но происходящее не в евклидовом, а в пространстве с изменяющейся кривизной. В результате дви­жение точки уже не является прямолинейным и равномерным, а происхо­дит по геодезической линии искривленного пространства.

Геодезическая линия — кратчайшее расстояние между двумя точками на любой поверхности; на земном шаре геодезическая линия — дуга большого круга. Ее еще называют экстремальным путем между двумя точками. На сфе­рической поверхности — геодезическими являются окружности большого круга. На других поверхностях кратчайшие линии нередко представляют собой весьма сложные кривые (рис. 18); тем не менее в рамках этой поверх­ности они оказываются простейшими кривыми и образуют каркас геомет­рии этой поверхности точно так же, как прямые линии образуют каркас ев­клидовой геометрии на плоскости.

Рис. 18. В общем случае поверхность может быть искривлена по-разному в разных точках:

а — гауссова система координат, отражающая евклидову геометрию;

б седло — поверхность отрицательной кривизны. Наглядный образ неевклидовой геометрии

Геодезическая линия обладает свойством развертываться на плоскости в прямую при сохранении своей длины. Ортогональные геодезические линии развертываются на плоскости в ортогональные прямые.

Таким образом, в общей теории относительности Эйнштейна существо­вание гравитационного взаимодействия объясняется искривлением четырех­мерного пространства-времени. Пространство-время является неоднород­ным, его свойства изменяются с изменением гравитационного поля. В об­щей теории относительности на место ньютоновского абсолютного пространства пришло гравитационное поле; таким образом, «пустое про­странство, т.е. пространство без поля, не существует, пространство-время существует не само по себе, но только как структурное свойство поля»'. Про­странство-время — четырехмерное пространство, точки которого отвечают событиям. Пространственное измерение —любое из трех пространственно-подобных измерений пространства-времени, т.е. любое измерение, кроме временного. Согласно геометрии траектории движения материи, путь по кривой траектории всегда длиннее прямолинейного.