Статистические оценки и их свойства

Мы будем иметь дело с независимой выборкой

. (3.1)

Из распределения принадлежащего некоторому семейству распределений . Пусть – параметр, однозначно определяемый по каждому распределению из семейства . Например,

или .

Таким образом, = (F) - это значение функционала от распределения . Очень часто мы будем предполагать, что само семейство определяется одним или несколькими такими параметрами.

Тогда любая есть функция распределения или зависящая от одного или нескольких параметров. Такое семейство распределений называется параметрическим. В любом из этих случаев задача оценки (оценивания) параметра состоит в нахождении такой функции

(3.2)

от выборки (3.1), которая в каком-то смысле близка к параметру , если выборка взята из распределения с ( )= .

При этом предполагается, что функция (3.2) не зависит от значения оцениваемого параметра и других неизвестных параметров, от которых может зависеть .

Вообще, любая функция вида (3.2) от выборки носит название статистики. Таким образом, - это статистика (3.2).

Оценка = ( ) называется несмещенной, если при любом возможном

= , (3.3)

т.е. среднее значение равно .

Приведем примеры несмещенных оценок. Если выборка (3.1) взята из семейства с конечным r-м моментом

то выборочный r-й момент

(3.4)

будет несмещенной оценкой m_r, так как

В частности, выборочное среднее есть несмещенная оценка математического ожидания .

Выборочная дисперсия не является несмещенной оценкой дисперсии так как может представить в виде

Отсюда

(3.5)

поскольку то .

Равенство (3.5) дает нам возможность построить несмещенную оценку дисперсии

. (3.6)

Заметим, что из несмещенности оценки S₁² для σ² не следует несмещенность оценки S₁ для σ. Поэтому при большом числе N выборок (3.1) для оценки σ предпочтительнее пользоваться оценкой , а не , где S_1i - значение выборочной несмещенной дисперсии (3.6) для i-й выборки. Заметим, что обычно вместо S₁² в (3.6) пользуются обозначением S².

Очень часто нас интересуют асимптотические свойства оценок для выборок (1.1) объема . Оценка _n (вернее, последовательность оценок _n) называется состоятельной, если при n→∞ она сходится по вероятности к параметру.

_n

{ }

Примером состоятельной оценки может служить выборочный r-й момент в (3.4), так как при конечности m_r по усиленному закону больших чисел (если ξ₁,ξ₂, …- независимые, имеющие , то = ξ, п.н. – почти наверное, т.е. с вероятностью = 1).

при , следовательно, .

Для установления состоятельности оценки полезна следующая

Теорема 1. Если при _n

и _n→ при , то оценка _n - состоятельная.

Доказательство.

По неравенству Чебышева при любом

. (3.7)

Из (3.7) и неравенства

cледует, что при n→∞ вероятность события стремится к нулю, что и требовалось доказать.