Коэффициенты взаимозависимости для порядкового

Уровня из­мерения.

К этой группе относятся коэффициенты ранговой корреля­ции Спирмена r_а, Кендалла t и g. Коэффициенты ранговой корре­ляции используются для измерения взаимозависимости между ка­чественными признаками, значения-которых могут быть упорядоче­ны или проранжированы по степени убывания (или нарастания) данного качества у исследуемых социальных объектов.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена r_s. Этот коэффи­циент вычисляется по следующей формуле:

где di = i — ki— разность между i-ми парами рангов; I — число сопоставляемых пар рангов. Величина r_s может изменяться в преде­лах от +1 до — 1, когда два ряда проранжированы в одном поряд­ке. При полном взаимном беспорядочном расположении рангов г, равен нулю. Пример.По данным табл. 10 выясним, в какой степени связаны жизненные планы детей, отличающихся по социальному происхождению. Для этого проранжируем значения процентных распределений для каждой из двух групп детей.

В графе «из крестьян» (табл. 10) встречаются два одинаковых числа (51, 0). В подобных случаях обоим числам присваивают ранг, равный среднему арифметическому из этих рангов, т. е. (3 + 4)/2 = 3,5. Подставляя промежуточные величины, вычисленные в табл. 10, в формулу (34), находим²⁸

Такую величину r, можно интерпретировать как высокую сте­пень связи между жизненными планами детей рабочих и крестьян. Однако большая величина г, не должна скрывать тот факт, что жизненные планы молодежи в табл. 10 распадаются на две груп­пы. Для одной группы (нижняя часть таблицы) ранги полностью совпадают, а для другой (верхняя часть) — нет.

Если подсчитать r_s, для каждой группы отдельно, то в первом случае, очевидно, r_s= 1, а во втором r_s=0,15, но статистически не­значимо отличается от 0.

Значимость коэффициента корреляции Спирмена для l < 100 можно определить по табл. Г приложения, где приведены крити­ческие величины r_s.

Если l> 100, то критические значения находятся по табл. А формуле

Например, возвращаясь к данным табл. 10, где l< 100, по табл. Г приложения найдем, что для того, чтобы rбыл значим на уровне 0,01, он должен быть равен или превосходить 0,833. Эмпирическое значение r, = 0,9, и поэтому делается вывод, что имеется значимая связь между предпочтениями жизненных планов двух групп рес­пондентов. Аналогичным образом легко убедиться, что r_s, = 0,15 при l= 4 статистически незначим.

Коэффициент ранговой корреляции t Кендалла. Подобно r_s ко­эффициент Кендалла используется для измерения взаимосвязи между качественными признаками, характеризующими объекты од­ной и той же природы, ранжированные по одному и тому же критерию, т изменяется от +1 до —1. Для расчета t₀ используется формула

Как вычисляется S, поясним на примере данных табл. 10.

Таблица упорядочена так, что в графе «Ранг I» ранги располо­жились в порядке возрастания их значений. Берем значение ранга, стоящего в графе «Ранг II» на первом месте, 3,5; из расположен­ных ниже данного ранга семи других четыре значения его превы­шают, а два — меньше его. Число 4 записывается в графу S_i , a 2 в колонку S_i. Аналогичный подсчет делается для второго ранга со значением 1. Число рангов, расположенных ниже данного значения и превышающих его, равно 6, а число рангов, меньших данного,— 0 и т. д. Остальные вычисления ясны из следующей таблицы:

Тогда, подставив соответствующие значения в формулу (36), по­лучим

Таким образом, t_а дает более осторожную оценку для степени связи двух признаков, чем r_s.

При расчете t не учитывались равные ранги. Например, в табл. 10 имеются два равных ранга со значением 3,5. Если число равных рангов велико, то необходимо вычислить т по следующей формуле:

где Т_х= i/2Zt_x(t_x—i) (t_x—число равных рангов по первой пере­менной); Ту=i/2Zt_y(t_v—i) (t_y — число равных рангов по второй: переменной).

Для предыдущего примера t_x= 1, t_v=2,тогда Т_х = 0, T_y = 1.

Значимость коэффициента корреляции Кендалла t при l > 10 определяется по формуле

Гипотеза о том, что t_а = 0, будет отвергнута для данного а, если |Z|>Z_кр(a/2).

Для вышеприведенного примера ,

По табл. А приложения для а = 0,05 находим Z_Kp(a/2), равное 1,96. Поскольку расчетное значение 2 = 2,84 и, следователыю, боль­ше Z_кр, заключаем с вероятностью 95%, что t не равно 0.

Коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла используются как меры взаимозависимости между рядами рангов, а не как меры связи между самими переменными. Так, в табл. 10 ранги отражают иерархию жизненных планов, но совершенно не говорят о том, что дети рабочих почти в равной мере хотят получить как высшее образование, так и интересную работу (разница 0,2%), а дети крестьян в большей степени стремятся к высшему образованию (разница 8%). Кроме того, какая-нибудь из групп респондентов может считать, что выделенные категории вообще не отражают их жизненных планов, по проранжировали предложенные варианты. Если для целей исследования можно предположить эти моменты несущественными, то оправданно применение ранговой корреляции.

Коэффициенты Спирмена и Кендалла обладают примерно оди­наковыми свойствами, но в случае многих рангов, а также при введении дополнительных объектов в ходе исследования имеет определенные вычислительные преимущества²⁹.

Другая мера связи между двумя упорядоченными переменны­ми — g. Она, так же как и предыдущие коэффициенты, изменяется

от +1 до — 1 и может быть подсчитана при любом числе связанных рангов. Формула для вычисления g записывается в виде

Для иллюстрации правил вычисления 5, по сгруппированным дан­ным обратимся к примеру (табл. 11).

Процесс вычисления S⁺ и S~ наглядно представлен на схеме

(схема 2).

Так:

Подставляя эти величины в формулу для g, находим

Проверку статистической значимости проводят по формуле

Гипотеза Н₀ оравенстве нулю коэффициента отвергается, если Z>Z_Kр(a/2). Для наших данных

Для а = 0,05 по табл. А приложения Z_Kp(a/2) = 1,96. Таким обра­зом, Z < Z_Kp, и, следовательно, у нас нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀ : g= 0, т. е. лишь в 5 % случаев следует ожидать, что gбудет отличен от нуля.

Множественный коэффициент корреляции W. Этот коэффициент, иногда называемый коэффициентом конкордации, используется для измерения степени согласованности двух или нескольких рядов проранжированных значений переменных.

Коэффициент W вычисляется по формуле

Значимость полученной величины W для и > 7 проверяется по критерию c²:

со степенью свободы п — 1. Для примера c^{2 =} 10,133, степень свобо­ды (n— 1)=4. Для a = 0,05 из табл. Б приложения находим c² = 9,488. Поскольку наблюдаемое значение c² больше критической точки, отвергаем гипотезу о том, что не существует значимой связи между рассматриваемыми переменными³⁰.