Оцінка параметрів генеральної сукупності за

Власновипадковою вибіркою. Оцінка генеральної частки

Нехай генеральна сукупність містить N елементів, з яких M мають деяку ознаку A. Необхідно знайти «найкращу» оцінку генеральної частки . Розглянемо в якості такої можливої оцінки параметра p його статистичний аналог – вибіркову частку .

А) Вибірка повторна

Вибіркову частку можна подати як середнє арифметичне n альтернативних випадкових величин , тобто , де кожна випадкова величина виражає кількість появ ознаки в k-му елементі вибірки (тобто при наявності ознаки , при її відсутності ) і має один і той самий закон розподілу:

Дійсно, ймовірність того, що 1-й відібраний у вибірку елемент має ознаку A згідно із класичним означенням ймовірності рівна . Так як вибірка повторна, то кожен елемент знову повертається у вихідну сукупність, відновлюючи кожного разу її початковий склад і об’єм, то ймовірності та залишаються тими ж самими для будь-якого елемента вибірки, і закон розподілу один і той самий.

Випадкові величини незалежні, оскільки незалеж

ними є будь-які події та їх комбінації. Наприклад, незалежні події та , так як , тобто ймовірність того, що 2-й відібраний у вибірку елемент має ознаку A, не змінюється в залежності від того, чи мав ознаку A 1-й елемент чи ні і т.д.

Теорема 2.1Вибіркова частка повторної вибірки є незміщеною і спроможною оцінкою генеральної частки , причому її

дисперсія де (2.7)

Доведення. Доведемо спочатку незміщеність оцінки Математичне сподівання і дисперсія частості події в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких вона може настати з однією і тією ж ймовірністю p рівні відповідно або Оскільки ймовірність того, що будь-який вибраний елемент має ознаку А, є генеральна доля р, то з першої рівності випливає, що частість або вибіркова доля w є незміщена оцінка генеральної долі р.

Доведемо спроможність оцінки , яка випливає безпосередньо з теореми Бернуллі .

Б) Вибірка безповторна

У випадку безповторної вибірки випадкові величини будуть залежними. Розглянемо, наприклад, події і . Тепер ймовірність оскільки відібраний елемент у вихідну сукупність не повертається, то в ній залишається всього N – 1 елементів, з яких ознаку A мають M – 1.Ця ймовірність не дорівнює тобто події і - залежні. Аналогічно будуть залежними будь-які події , а це означає, що залежними є випадкові величини

Теорема 2.2Вибіркова частка безповторної вибірки є незміщеною і спроможною оцінкою генеральної частки причому її дисперсія де (2.8)

Доведення. Очевидно, що і для безповторної вибірки тобто w – незміщена оцінка для генеральної частки Це пов’язано з тим, що математичне сподівання суми будь-яких двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань (в тому числі суми залежних випадкових величин, якою є вибіркова частка w безповторної вибірки).

Знайдемо дисперсію вибіркової частки для безповторної вибірки:

де

тобто вірною є формула (2.8)(при виведенні формули для використовували те, що випадкова величина у випадку безповторної вибірки має гіпергеометричний розподіл, і її дисперсія визначається за формулою .

Для того, щоб легше було зрозуміти формулу (2.8), розглянемо її частинні випадки і переконаємося в справедливості цієї формули:

1. При , тобто якщо об’єм вибірки

значно менший від об’єму генеральної сукупності, то вибірка практично не відрізняється від повторної, і дисперсії вибіркової частки і наближено рівні.

2. При тобто, якщо припустити, що об’єм вибірки рівний

об’єму генеральної сукупності, то вибіркова частка буде рівна генеральній частці, і її дисперсія буде дорівнювати нулю.

◄Приклад 2.5Знайти незміщену і спроможну оцінку частки робітників цеху із виробітком не меншим 124% за вибіркою, поданою у табл.1.1 (розділ 1).

Розв’язання. Незміщеною і спроможною оцінкою генеральної частки є вибіркова частка

►