Особливості малої вибірки

Малою вибіркою прийнято вважати вибірку, об'єм якої варіює в межах від 5 до 30 одиниць. Мала вибірка являється єдиним методом дослідження в тих випадках, коли організація суцільного або великого вибіркового спостережень неможлива. Переважно ви­бірковим методом користуються у випадку дослід­ження якості промислової продукції, при встановленні норм виробітку. Однак, слід відмітити, що необхідно бути обережним при використанні малої вибірки.

Як відомо з теорії вибіркового спостереження, ре­презентативність вибірки в значній мірі залежить від її обсягу. Випадкові помилки вибірки при достатньо ве­ликому обсязі розподіляються нормально. При цьому Допускається умова рівності генеральної та вибіркової Дисперсії.

За умови малої вибірки цим припущенням кори­стуватись не можна, її особливість якраз і полягає в тому, що випадкові помилки малої вибірки не підчиняються закону нормального розподілу. Тому для оцінки результатів малої вибірки і можливих границь її випадкової помилки користуються відношення^ Стьюдента:

де — стандартна помилка малої вибірки, яка обчис­люється за формулою

Як бачимо з цієї формули, в знаменнику береться не п, як у звичайній вибірці, а п-1, що являється принципово важливим у випадку для розрахунку помилки малої вибірки. Гранична ж помилка малої вибірки обчислюється стандартним способом за формулою

де t — це відношення Стьюдента.

Величина t підпорядковується закону розподілу Стьюдента (t вірне тільки для виборок, які взяті із генеральної сукупності з нормальним розподілом ознак). Для визначення ймовірності інтенсивності P(t) користуються спеціальними таблицями, в яких роз­раховані P(t) для даних значень t і k=n-1 (k - число ступенів вільності).

Наведемо приклад у вигляді табл. 4.5.

Таблиця 4.5

Імовірність P(t) розподілу t (P_k(t) • 1000)

t	k
								∞
2.0
2.5
3.0

За цією таблицею визначається двосторонній критерій, тобто імовірність того, що фактичне зна­чення t через випадкові причини не буде більшим від табличного за абсолютною величиною.

Приклад 4.7 [9]

На електроламповому заводі з метою перевірки якості ламп була організована мала вибірка (табл. 4.6). У випадковому безповторному відборі було відібрано 10 ламп.

Необхідно визначити граничну помилку вибірки і побудувати довірчий інтервал для середньої.

Таблиця 4.6

Розрахунок граничної помилки вибірки

Тривалість горіння, год (xi)	Число ламп, шт. (fi)
Разом			х	х

Вибіркова середня дорівнює

год.,

вибіркова дисперсія:

стандартна помилка:

год.

В умовах малої вибірки при k = п-1 =9 и t= 2,5 з імовірністю P_k(t), що дорівнює 0,966, гранична помилка за абсолютною величиною не перевищить

Λ_m= 2,5*6 = 15 год.

Імовірність того, що це твердження невірне і по­милка може вийти за встановлені межі 15 год., до­рівнює: 1 - 0,966 = 0,034.

На основі розрахованих характеристик будуємо до­вірчий інтервал для генеральної середньої:

1491 1521.

Питання для самоконтролю.

1. Для чого при проведенні вибіркового спостереження визна- 1 чається необхідний обсяг вибірки?

2. Чим визначається гранична помилка вибірки?

3. Що являє собою механічний спосіб відбору? Наведіть при- ' клад.

4. Які існують схеми відбору, умови їх застосування?

5. В чому полягають особливості типового відбору? Наведіть приклад.

6. Як перевірити репрезентативність вибіркової сукупності?

7. Як зміниться величина випадкової помилки, якщо обсяг ви­бірки збільшити на 21%?

8. Чи зміниться середня помилка вибірки, якщо замість повтор­ного відбору провести безповторний відбір?

9. За вибірковими даними питома вага бракованої продукції на першому підприємстві становить 3%, на другому — 5%. Для якого з них помилка вибірки буде більша і на скільки, якшо обсяг вибірки був однаковим?

10. Середня помилка вибірки для частки бракованої продукції становить 2%, питома вага браку у вибірці — 3%. З якою імовірністю можна стверджувати, що частка браку в гене­ральній сукупності не буде перевищувати 7%?

11. На ділянці лісу площею 1000 га необхідно визначити загаль­ний запас деревини (в куб. м). Випробувана площа становить 0,1 га. В результаті обстеження виявлено, що вихід деревини з 0,1 га становить 10 м³. Яким повинен бути обсяг вибірки, щоб помилка не перевищувала 4 м³ (р = 0,954)?

12. На поштовому відділенні міста планується проведення ви­біркового випадкового спостереження для визначення частки листів, адресованих за межі України. Результати необхідно оцінити з точністю !%(/> = 0,954). Скільки листів треба відібрати?

13. На підприємстві налічується 100 бригад однакової чисель­ності. Безповторно відібрано 36 бригад. За результатами ви­бірки середній стаж робітника становить 7 років. Міжсерійна дисперсія дорівнює 9 років. Визначити граничну помилку ви­бірки (р = 0,954).

14. В чому полягає особливість застосування малої вибірки?

15. Яким правилом користуються при визначенні граничної по­милки малої вибірки?