Преобразования и типы шкал

Единственное требование, предъявляемое к числам, служащим шкальными значениями, состоит в том, что рассмат­риваемые эмпирические отношения должны переходить в соответ­ствующие им числовые отношения. Этого требования, как правило, бывает недостаточно для однозначного определения множества шкальных значений. Совокупности величин, полученных по исполь­зуемым в социологии шкалам, обычно бывают определены лишь с точностью до некоторых преобразований этих величин, которые называются допустимыми преобразованиями соответствующих шкал; В соответствии со сложившейся в литературе традицией тип шкалы определяется соответствующим этой шкале множеством допустимых преобразований.

Чтобы пояснить введенные определения, опишем типы наиболее часто использующихся в социологии шкал.

Шкалы наименований (номинальные, классификационные). При использовании шкалы наименований объекты измерения распада­ются на множество взаимно исключающих и исчерпывающих клас­сов. Каждому классу даётся наименование, числовое обозначение которого является одним из шкальных значений. Шкала наимено­ваний получается, если в качестве моделируемых в процессе из­мерения эмпирических отношений выступают лишь отношения равенства и неравенства между объектами. Требования, предъявляе­мые к шкальным значениям, состоят в том, что равным объектам должно соответствовать одно и то же число, а неравным — разные числа. Поэтому номинальная шкала фактически задает некоторую классификацию исходных объектов. Один класс — это совокупность объектов, имеющих одно и то же шкальное значение.

Номинальные шкалы можно определить как шкалы, допустимыми преобразованиями которых являются произвольные взаимно однозначные преобразования³, т. е. преобразования, сохраняющие отношения равенства и неравенства между числами. Изучаемые эмпирические отношения одинаково хорошо будут отражать, напри­мер, следующие совокупности шкальных значений: (1, 1, 2, 3, 4) и (15, 15, 14, 13, 12). Каждая из этих совокупностей получена из другой с помощью некоторого однозначного преобразования.

Отметим, что даже при таком простейшем измерении к построе­нию шкалы надо подходить с большой осторожностью. Получаемые классы должны иметь социологическую значимость. Ясно, что сна­чала исследователь должен решить, что он будет классифицировать, какие категории будут при этом исследоваться. Например, если изучаются респонденты как носители определенной профессии, то классифицировать их нужно по принадлежности к той или иной профессии. Предполагается, что каждой профессии произвольно приписывается число, причем разным профессиям соответствуют разные числа.

Однако уже здесь проблема измерения (т. е. приписывания респондентам определенных чисел) не столь проста. Нельзя с предель­ной четкостью выделить всевозможные профессии или, по крайней мере, считать, что все профессии взаимно исключают друг друга. Например, неизбежно придется столкнуться с таким частным слу­чаем, когда профессия будет комбинацией нескольких. И тогда встанет вопрос о соотнесении респондента, имеющего такую про­фессию, с некоторой группой профессий и обозначении ее числовым знаком.

Порядковые шкалы (шкалы порядка). Порядковая шкала полу­чается, если при осуществлении измерения моделируются не только эмпирические отношения равенства и неравенства между изучае­мыми объектами, по и отношения порядка между ними. Порядковая шкала не только задает некоторую классификацию на множестве объектов, но и устанавливает определенный порядок между клас­сами.

Порядковые шкалы можно определить как шкалы, в качестве допустимых преобразований которых выступают произвольные мо­нотонно возрастающие преобразования⁴. Последние образуют подсовокупность всех взаимно однозначных преобразований, включаю­щую те из них, которые сохраняют отношение порядка между числами. Примером совокупностей шкальных значений, получаю­щихся друг из друга с помощью некоторого монотонно возрастающе­го преобразования, могут служить совокупности (1, 3, 5, 4, 2) и (18, 20, 28, 24, 19). Интересующие нас отношения равенства, не­равенства и порядка между объектами с одинаковым успехом отра­жены в любой из этих совокупностей. Ясно, что порядковые шкалы образуют подмножество номинальных шкал.

Пример порядковой шкалы мы получим, если будем различать людей данной профессии по квалификации (сложности труда и т.д.).

На практике часто не удается полностью упорядочить объекты изучаемой совокупности относительно того или иного интересующе­го исследователя свойства. Предположим, например, что изучается совокупность людей носителей свойства - «удовлетворенность спе­циальностью», а более узко — свойства, содержащегося в вопросе «Удовлетворены ли Вы своей специальностью?» и пяти ответах на него от «полностью удовлетворен» до «совсем не удовлетворен». Обычно считается, что любую совокупность людей можно упорядо­чить в отношении данного свойства, т. е. что ответившие «специаль­ностью полностью удовлетворен» выше по измеряемому качеству, чем те, кто ответил, что «специальностью удовлетворен» и т. д. Зачастую предполагаемого четкого различения оценок не наблю­дается и респонденты не могут однозначно выбрать тот или иной ответ. В этом случае на помощь могут прийти частично упорядо­ченные множества.

Шкальные значения, полученные по порядковой шкале, часто называют рангами.

Интервальные шкалы (шкалы интервалов). Интервальные шка­лы получаются, если в процессе измерения мы моделируем не толь­ко те отношения, которые моделируются при использовании поряд­ковой шкалы, но и отношение равенства (или, что одно и то же, порядка) для разностей (интервалов) между изучаемыми объектами. Далеко не всегда в тех случаях, когда удается построить порядко­вую шкалу, удается построить и интервальную. Например, возьмем классификацию рабочих по разрядам. Известно, что первый разряд ниже второго, второй — третьего и т. д. (и это соответствует опре­деленному эмпирическому отношению порядка между респондентами), т. е. разряды отвечают порядковой шкале. Однако сопоставлять дистанции между каждой парой разрядов все же нельзя.

Интервальным шкалам соответствуют положительные линейные преобразования⁵, т. е. такие преобразования, которые, наряду с от­ношениями равенства, неравенства и порядка между числами со­храняют и отношения равенства и порядка между их разностями, (или, что то же самое, частное от деления любой такой разности на любую другую). Примером совокупности чисел, получающихся друг из друга с помощью положительного линейного преобразова­ния (У = 3Х + 9), служат совокупности (5, 5, 2, 1, 2) и (24, 24, 15, 12, 15). Нетрудно проверить, что в этих совокупностях отражаются одни и те же отношения равенства, неравенства и порядка, как для чисел, так и для интервалов между ними (так, для первой совокуп­ности 5 — 2 > 2 — 1, а для соответствующих шкальных значений из второй совокупности 24 — 15 > 15 — 12). Легко видеть также, что частные от деления величины одного интервала между шкальными значениями на величину другого не зависят от того, какую из рассматриваемых шкал мы выбираем (так, верно соотношение (5 – 2):(2-1)=(24-15):(15-12)=3). Это справедливо для любых интервальных шкал. Ясно, что положительные линейные преобразования явля­ются под совокупностью монотонно возрастающих преобразований, а совокупность интервальных шкал — подмножеством шкал порядка.

Главная трудность при построении интервальных шкал в социологии состоит в обосновании равенства или разности дистанций между объектами. Процедуры, позволяющие таким образом преобразовать шкальные значения порядковой шкалы, что равенство (порядок) расстояний между полученными числами можно будет трактовать как отражение соответствующего равенства (порядка) «рас­стояний», между изучаемыми объектами, носят название метризации шкалы (или «оцифровки» шкальных значений.)⁶. На практике из­вестно много методов шкалирования, позволяющих получать ин­тервальную шкалу «косвенным» образом, без отображения указан­ного отношения непосредственно в процессе измерения⁷.

Шкалам отношений соответствуют положительные преобразования подобия⁸, составляющие подсовокупность положительных ли­нейных преобразований, оставляющих без изменения отношения между числами (под отношением здесь понимается частное от де­ления одного числа на другое). Шкалу отношений получим, если будем требовать, чтобы в процессе измерения не только отношения между эмпирическими объектами отображались в соответствующие; числовые отношения, но и один и тот же объект отображался в 0. Подобная возможность иногда возникает в социологических иссле­дованиях. Так, при изучении удовлетворенности респондентов своим трудом, вероятно, в качестве такого объекта имеет, смысл выбрать респондента, равнодушного к своей работе. Фиксацию такого нуле­вого объекта можно рассматривать как задание начала отсчета; шкальных значений. Поэтому можно сказать, что шкалы отношений образуют подмножество интервальных шкал, характеризующееся фиксацией начала отсчета. Неоднозначность совокупности шкальных; значений, полученных с помощью измерения по шкале отношений, иллюстрируется примером следующих двух совокупностей, отража­ющих одни и те же эмпирические отношения равенства, неравенства и порядка как между респондентами, так и между соответствующими интервалами и, кроме того, отвечающих одному и тому же началу отсчета (один и тот же объект (второй) в обоих случаях отображается в: (2, 0,—1,4, 1) и (3, 6,—3/2, 6, 3/2). Легко видеть также, что для обеих совокупностей частные от деления между шкальными значениями любых пар объектов одни и те же (2:4 = 3: 6 и т. д.). Ясно, что рассматриваемые совокупности получаются друг из друга с помощью некоторого положительного преобразова­ния подобия (у = 3/2х). Шкалы разностей — это шкалы, которым соответствуют преобра­зования сдвига⁹. Ясно, что такие преобразования образуют подсовокупность положительных линейных преобразований. Шкалы раз­ностей получаются из интервальных шкал при фиксации единицы измерения. Для большинства социологических шкал трудно задать естественным образом такую единицу (исключение составляют шка­лы типа «возраст», «стаж работы», «доход» и некоторые другие). Однако шкалу разностей можно получить, например, при отыскании шкальных значений рассматриваемых объектов с помощью неко­торых методов парных сравнений (см. гл. 7),

Сказанное подытожено в схеме 1, где указаны допустимые преобразования описанных шкал и отражено соотношение их типов.

Признаки, значения которых получены по порядковой или но­минальной шкале, обычно называют качественными, а признаки, для получения значений которых использовалась шкала, тип кото­рой ниже типа интервальной шкалы — количественными.

В соответствии с имеющейся традицией будем говорить, что две шкалы позволяют достичь одного и того же уровня измерения, если эти шкалы являются шкалами одного типа (т. е. если соответству­ющие этим шкалам совокупности допустимых преобразований сов­падают)¹⁰.