Критерий Колмогорова – Смирнова

Назначение критерия. Критерий λ предназначен для сопоставления двух распределений: а). эмпирического с теоретическим, например, равномерным или нормальным; б). одного эмпирического распределения с другим эмпирическим распределением.

Ограничения критерия. Критерий требует, чтобы выборка была достаточно большой, , ≥50.

Гипотезы:

: различия между двумя распределениями незначимы.

: различия между двумя распределениями значимы.

Алгоритм подсчета λ – критерия.

Составляем таблицу для удобства расчетов:

1. В первом столбце располагают эмпирические значения признака, упорядоченные по возрастанию.

2. Во втором столбце располагают эмпирические частоты для каждого значения, а в третьем столбце относительные эмпирические частоты для каждого значения, рассчитанные по формуле: f*_{эмп j} = f_{эмп j} / n, где f_{эмп j} – эмпирическая частота из второго столбца, n – объем выборки.

3. Подсчитываем «накопленные» эмпирические частоты по формуле:

∑ f*_{эмп j} = ∑ f*_{эмп j-1}+ f*_{эмп j} ,

где ∑ f*_{эмп j-1} – частота, накопленная на предыдущих значениях признака;

j – порядковый номер значения признака; f*_{эмп j} – эмпирическая частота данного j разряда. Результаты помещают в 4 столбец.

4. В 5 столбце располагают накопленные теоретические частоты, если сравнивают с известным теоретическим распределением; если сравнивают 2 эмпирических распределения, то в 5 столбце располагают накопленные эмпирические частоты для выборки 2.

5. Подсчитывают разности между накопленными частотами и их абсолютные значения помещают в 6 столбец. Обозначим их d_j.

6. Определяют по 6 столбцу максимальное значение d_j → d_max.

7. Подсчитывают λ_эмп по формуле:

,

где n₁ – объем выборки 1, n₂ - объем выборки 2, если = = n, то .

8. По заданному уровню значимости из таблицы VII приложения находят граничную точку λ_кр.

9. Если λ_эмп < λ_кр, то различия между распределениями признака незначимы; если λ_эмп > λ_кр, то различия между распределениями признака значимы.

Пример. В продовольственном магазине проведены контрольные взвешивания проданной колбасы. Объем выборки n = 100. Полученные данные указаны в таблице.

недовес, г
частота

Определить с помощью λ – критерия Колмогорова-Смирнова на уровне значимости α=0,05, согласуются ли данные выборки с равномерным распределением на отрезке [0,10].

Решение. : различия между эмпирическим и предполагаемым теоретическим распределением незначимы.

: различия между эмпирическим и предполагаемым теоретическим распределением значимы.

Функция распределения случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0,10] имеет следующий вид:

Заполним таблицу:

xj	fэмп j	fэмп j/n	∑ f*эмп j	∑ f*теор j	dj
		0,10	0,10	0,1
		0,11	0,21	0,2	0,01
		0,08	0,29	0,3	0,01
		0,09	0,38	0,4	0,02
		0,12	0,50	0,5
		0,10	0,60	0,6
		0,13	0,73	0,7	0,03
		0,15	0,88	0,8	0,08
		0,12	1,00	0,9	0,1

Поясним, как заполняется таблица. Значения первых двух столбцов взяты из условия. Каждое число второго столбца делим на n = 100 и результат записываем в 3 столбец. Каждое число 4 столбца равно сумме числа из этой же строки 3 столбца и предыдущего числа 4 столбца. Каждое число 1 столбца подставляем в формулу f^*_теор = x_j /10 и результат записываем в 5 столбец. 6 столбец – модуль разности 4 и 5 столбцов. Наибольшее число в 6 столбце d_max =0,1; λ_эмп =0,1 = 1.

По уровню значимости α = 0,05 из таблицы VI приложениия находим граничную точку λ_кр = 1,358. Поскольку λ_эмп < λ_кр (1 < 1,358), то принимаем гипотезу на уровне значимости α = 0,05. Данные выборки согласуются с равномерным распределением на отрезке [0,10].