Взаимосвязь правонарушения и решения суда

Правонарушение	Приговор	Всего
штраф	условный приговор	тюремное заключение
автомобильная кража
кража со взломом
подделка денег
Всего

Другой тип коэффициентов взаимосвязи номинальных (и не только номиналь­ных) переменных называют мерами «пропорционального уменьшения ошибки». Все они основаны на следующем предположении (или модели): если две пере­менные взаимосвязаны, мы можем предсказать значение одной переменной для данного наблюдения (случая), зная, какое значение принимает другая перемен­ная. Степень соответствия такого предсказания действительности и использу­ется в качестве коэффициента взаимосвязи. Любой коэффициент взаимосвязи, основанный на модели «пропорционального уменьшения ошибки» («ПУО»), имеет общую структуру, задаваемую формулой:

где Е₁ — количество ошибок в предсказаниях значений зависимой переменной, с деланных без учета распределения по второй, независимой, переменной, а Е₂ — количество ошибок в предсказаниях значений зависимой переменной, сделан­ных на основе значений независимой переменной. Конкретные коэффициенты, основанные на «ПУО», будут различаться в зависимости от того, что мы счита­ем ошибкой и как подсчитывается количество ошибок. В качестве примера мож­но рассмотреть «may-коэффициент» Гудмана-Краскела[33]. Ошибкой в данном случае считается просто ошибочная классификация наблюдения, отнесение его в «неправильную» категорию. Рассмотрим таблицу сопряженности для приводимого Мюллером и соавторами примера[34] гипотетических данных о влиянии типа правонарушения на характер решения суда (см. табл. 8.7).

Ошибка предсказания зависимой переменной (приговор), сделанного исклю­чительно на основе ее собственного распределения, т. е. без учета распределе­ния независимой переменной, определяется следующим образом. Мы знаем (см. маргиналы столбцов в нижней строчке таблицы), что в 60 случаях из 100 приговор был условным, но нам неизвестно, в каких именно шестидесяти случаях он был условным. Точно так же мы знаем, что в десяти случаях судья ограни­чился денежным штрафом, но мы наверняка неоднократно ошибемся, наугад определяя для каждого случая из 100, считать ли его одним из десяти «штраф­ных». Если бы каждому случаю соответствовала карточка с надлежащей над­писью, которую мы с завязанными глазами помещали бы в одну из трех стопок, то при угадывании мы могли бы руководствоваться лишь значениями маргиналов по столбцам: в конечном счете в первой стопке должно оказаться 10 карточек, во второй — 60, а в третьей — 30.

Если мы наугад поместим во вторую стопку «условных приговоров» 60 карто­чек, то для каждой отдельной карточки (для каждого наблюдения) вероятность ошибки будет равна вероятности попадания туда карточки «штраф» или «тю­ремное заключение», т. е. ¹⁰/₁₀₀ + ³⁰/₁₀₀ ^{= 40}/₁₀₀. Иными словами, в среднем мы сде­лаем ошибки для категории «условный приговор». Для первой категории («штраф») мы в среднем сделаем 10 х (⁶⁰/₁₀₀ + ³⁰/₁₀₀) = 9 ошибок. Для ка­тегории «тюремное заключение» (30 карточек) мы можем ожидать, что сделаем 21 ошибку. Суммарное значение числа ошибок предсказания Е₁(если в расчет принимается только распределение зависимой переменной) составит сумму этих трех значений:

Е₁ = 24 + 9 + 21 = 54 ошибки.

Представим теперь, что распределяя карточки по трем категориям приговора, мы располагаем сведениями о том, каково значение второй переменной — «ха­рактер преступления» — для каждой карточки, т. е. для каждого наблюдения. Пусть, например, кто-нибудь каждый раз сообщает нам, каким было в данном случае правонарушение, предоставляя нам возможность самостоятельно пред­сказать приговор суда. Мы также знаем заранее, что 5 (12,5%) автомобильных краж из 40 повлекли за собой штраф, 30 (75%) — условный срок, а еще 5(12,5%) — тюремное заключение.

Нам, однако, предстоит угадать, какие именно из этих 40 случаев автомобиль­ных краж попали в каждую из трех описанных категорий приговора. Процесс подсчета числа ошибок при таком угадывании сходен с вышеописанным. Зная, каково распределение наблюдений в строке «автомобильные кражи», мы мо­жем оценить ожидаемые ошибки. Ожидаемая ошибка при случайном помеще­нии 5 карточек с автомобильными кражами (из 40) в категорию «штраф» соста­вит ошибки; при случайном размещении 30 карточек с автомобильными кражами в категорию «условный приговор» мы ожидаем, что ошибок предсказания в среднем будет ошибки и т. д. Размещая 5 фальшивомонетчиков из 10 в стопку «штрафов», мы сделаем ошибки. Про­ведя аналогичные подсчеты для всех трех строк таблицы 8.7 и просуммировав все ожидаемые ошибки, мы получим величину Е₂, т. е. ожидаемое число оши­бок в предсказаниях приговора суда, сделанных с учетом информации о харак­тере преступления (независимой переменной). Для данных, приведенных в таб­лице 8.7, величина Е₂составит 45,25. Отсюда,

t

Таблица 8.8

Ранги четырех школьниц по привлекательности (X) и популярности(Y)

Случай	Переменная X (ранг по привлекательности)	Переменная F (ранг по популярности)
Ольга
Светлана
Марьяна
Наташа

Для простейшего случая таблицы сопряженности 2 x 2 существует более про­стая в вычислительном отношении формула:

t

где a, b, с, d — частоты в клетках таблицы (см. табл. 8.4)[35].

Отметим здесь, что направление связи далеко не всегда очевидно, т. е. не всегда можно уверенно утверждать, какая из переменных является зависимой. Если исследователь решит, что независимой является переменная, расположенная по горизонтали (а не по вертикали, как в нашем примере), он сможет подсчи­тать другую величину «тау-коэффициента», на этот раз идя «от строк» и выпол­нив все операции в обратном порядке. (Для четырехклеточных таблиц величи­ны «тау» по строкам и по столбцам будут равны.)

Примером ПУО-коэффициента, специально предназначенного для измерения связи двух ординальных (т. е. измеренных на порядковом уровне) переменных, может служить коэффициент «гамма». «Гамма» измеряет относительное умень­шение ошибки предсказания ранга конкретного наблюдения по зависимой пе­ременной. Для того чтобы вручную рассчитать значение «гаммы» для неболь­шой выборки, нужно упорядочить наблюдения по независимой и зависимой переменным, как это показано в таблице 8.8 для данных о внешней привлека­тельности (экспертные оценки) и популярности школьниц (данные опроса од­ноклассников).

Далее нужно сравнивать случаи (т. е. школьниц) попарно, определяя, сходится или расходится порядок расположения двух этих случаев по двум переменным. Если упорядочения сходятся, пара называется согласованной, если они не схо­дятся, то пару нужно считать несогласованной. Результаты анализа для данных таблицы 8.8 представлены в таблице 8.9.

Предполагается, что если согласованных (т. е. правильно предсказывающих порядок по зависимой переменной) пар больше, чем несогласованных, связь между переменными велика. Если несогласованных пар больше, то связь отри­цательна (чем выше ранг по одной переменной, тем ниже ранг по другой). Если же различие между числом согласованных и несогласованных пар невелико, то связь между переменными просто отсутствует. Поэтому формула для «гаммы» такова:

где N_s — число согласованных пар,

N_r — число несогласованных пар.

Таблица 8.9

Попарные сравнения рангов по переменным X и Y

Пара	Порядок по X*	Порядок по Y*	Знак пары («+» — согласованная, «-» — несогласованная)
Ольга — Светлана	O > C	O > C	+
Ольга — Марьяна	O > M	O > M	+
Ольга — Наташа	О > Н	О > Н	+
Светлана — Марьяна	С > М	М > С	-
Светлана — Наташа	С > Н	С > Н	+
Марьяна — Наташа	М > Н	М > Н	+

* Примечание. Здесь использованы лишь начальные буквы имен, т. е. «О > С» означает, что ранг Оли выше ранга Светы.

Для данных, используемых в нашем примере:

О том, как измерить связь (корреляцию) количественных переменных, мы по­говорим немного позже, сделав одно важное отступление.