Одномерный анализ: табулирование и представление данных

Результаты измерения любой переменной могут быть представлены с помощью распределения наблюдений («случаев») по отдельным категориям данной пе­ременной. Категория, в которую попадают одинаковые наблюдения, может быть номинальной («православный», «протестант» и т.п.) либо иметь числовое зна­чение. В любом случае результатом такого упорядочения наблюдений будет их группировка. Работать с упорядоченными данными значительно проще, чем с исходным «сырым» массивом: в «сырых» данных, конечно, содержатся сведе­ния о том, как много в выборке, например, пенсионеров, однако для получения нужной цифры придется перебрать все наблюдения «случай» за «случаем». Если данные сгруппированы, достаточно посмотреть, какова абсолютная частота, т. е. число наблюдений в данной выборке, попадающих в интересующую нас категорию. Для переменных, имеющих не произвольную метрику, т. е. изме­ренных на ординальном или интервальном уровне (см. гл. 6), нередко исполь­зуется еще одна процедура, делающая представление данных более компакт­ным и удобным в работе при сохранении заданного уровня точности. Предпо­ложим, что в каком-то исследовании 22,0782% опрошенных поддержали государственную программу приватизации, а исследование, проведенное ме­сяц спустя, дало иное значение — 22,1327%. Даже если теоретический конст­рукт «поддержка программы приватизации» можно представить как непре­рывный ряд числовых значений, на практике исследовательской перемен­ной будет соответствовать некоторый набор дискретных числовых величин (категорий). Кроме того, тысячные или сотые доли процента едва ли будут су­щественны для интерпретации полученных результатов. Поэтому в представ­лении данных обычно используют процедуру округления. Определив необходи­мую степень точности — и соответственно приемлемый уровень неточности, — ис­следователь может округлить все полученные числовые значения до десятых долей или, скажем, до целых процентов. Так, в нашем примере округление до целого числа даст цифру 22%. В дальнейшем каждое последующее наблюде­ние, дающее числовое значение в интервале между 21,5% и 22,5%, будет попадать в класс «22% поддержки приватизации». В результате процедуры округле­ния исследователь фактически устанавливает границы классов, объединяющих значения переменной в заданном интервале, и середины (центры) классов, т. е. усредненные значения для каждого интервала.

Необходимость объединить значения переменной в 10—15 крупных классов-категорий часто возникает и при работе со «слишком хорошо измеренными» признаками, соответствующими шкалам интервалов или отношений (возраст, доход и т. п.). Во-первых, чрезмерное количество градаций переменной препят­ствует ее компактному представлению — табличному или графическому. Во-вторых, для конечной выборки обычно соблюдается следующая закономер­ность: число градаций (категорий) признака обратно пропорционально их за­полненности. Переменная с огромным числом градаций, содержащих по 2—3 наблюдения, часто создает серьезные проблемы в статистическом анализе и оценивании (хотя для некоторых методов анализа — корреляция, регрес­сия и т. п. — эти проблемы, как мы увидим дальше, несущественны). Самым целесообразным выходом обычно оказывается перекодирование, «сжатие» исследовательской переменной. Здесь существует два основных подхода:

1) исходные градации объединяются в более крупные классы на основа­нии каких-то содержательных соображений, причем полученные классы имеют приблизительно равную ширину (например, данные о возрасте часто перекодируют в более широкие «десятилетние» категории — 20—29 лет, 30—39 лет и т. п.);

2) решение о способе «сжатия» переменной принимают, основываясь на рас­пределении наблюдений («случаев») по оси переменной, например, границы между «низким», «средним» и «высоким» доходом устанавливают так, что­бы в каждую категорию попало 33% наблюдений.

Стремление к компактности и «читабельности» данных не должно вести к край­ностям. Руководствуясь соображениями здравого смысла, исследователь дол­жен избегать ситуаций, когда перегруппировка ведет к тому, что полученная переменная оказывается слишком грубым средством классификации наблюде­ний, не позволяющим выявить существенные для анализа различия. Важно так­же следить за тем, чтобы объединение категорий или числовых градаций пере­менной-признака не привело к искусственному созданию отношений и взаимо­связей, которые в действительности отсутствуют в данных.

Независимо от того, какие статистические методы и модели собирается исполь­зовать исследователь, первым шагом в анализе данных всегда является постро­ение частотных распределений для каждой изучавшейся переменной. Полу­ченные результаты принято представлять в виде таблицы частотного распреде­ления (или просто — таблицы распределения) для каждой существенной переменной. Примером табличного представления может служить приведен­ная ниже таблица 8.1, в которой представлены гипотетические данные выбо­рочного опроса 500 владельцев домашних телефонов.

Таблица 8.1

Частотное распределение ежемесячных расходов на международные телефонные переговоры

Интервал класса (расходы в руб.)	Абсолютная частота, чел.	Относительная частота, %
до 3000		11,0
3000—5999		8,6
6000—8999		29,0
9000—11999		17,2
12000—14999		14,0
15000—19999		10,5
20000—23999		8,0
свыше 24000		1,7
Всего	N = 465	100% (= 465)
не ответили		(35)

Иногда в таблице распределения указывают лишь относительные частоты, опус­кая абсолютные. Но и в этом случае в правом нижнем углу таблицы должны быть указаны абсолютное число ответивших (база для вычисления процентов) и число неответивших.

Помимо табличного представления частотных распределений обычно исполь­зуют и различные методы графического представления. Самый распространен­ный метод графического представления одномерных распределений — это гис­тограмма, или столбиковая диаграмма. Каждый столбик соответствует интервалу значений переменной, причем его середина совмещается с серединой дан­ного интервала. Высота столбика отражает частоту (абсолютную или относи­тельную) попадания наблюдавшихся значений переменной в определенный интервал. При построении гистограмм часто приходится использовать некото­рые конвенции, основанные на сугубо практических соображениях. Так, используя при группировке значений переменной неравные интервалы либо ос­тавляя крайние градации открытыми («старше 65 лет», «свыше 24000 рублей» и т. д.), мы все же отображаем эти интервалы на гистограмме с помощью столбиков, имеющих одинаковую ширину. Другое практическое правило по­зволяет сделать гистограмму визуально уравновешенной, т. е. более привлека­тельной: масштаб шкалы обычно выбирают так, чтобы общая высота гистог­раммы составляла приблизительно 40—60% ее ширины. Пример гистограммы для данных из таблицы 8.1 приведен на рисунке 14.

Интервал класса (расходы в рублях)

Рис. 14. Гистограмма для данных о расходах на

Телефонные переговоры

Если просто соединить между собой точки, соответствующие абсолютным или относительным частотам (ось ординат) для середин интервалов, мы получим так называемый полигон распределения. Эта операция, разумеется, будет иметь какой-то смысл лишь для количественных переменных, которые мы в принци­пе можем представить себе как непрерывные. На рисунке 15 изображен поли­гон распределения для экспертных оценок телегеничности политического лидера (50 экспертов оценивали политика в процентах по отношению к некоторо­му абсолютному эталону телегеничности).

Рис. 15. Полигон распределения для оценок телегеничности политического лидера

Еще один популярный способ графического представления, обычно используе­мый для качественных данных (т. е. для номинальных или ординальных изме­рений), — это круговая диаграмма. Каждый сектор круговой диаграммы пред­ставляет дискретную категорию переменной. Величина сектора пропорциональ­на частоте категории для данной выборки. На рисунке 16 приведена круговая диаграмма, иллюстрирующая распределение подростков, страдающих вялоте­кущей формой шизофрении, по возрасту на момент начала («дебюта») заболевания[27].

Рис. 16. Заболеваемость вялотекущей формой шизофрении

у подростков муж­ского пола по возрастам, %

Какую бы форму представления данных мы ни избрали, полученное частотное распределение все еще содержит «слишком много» деталей, не отвечая при этом на весьма важные для содержательного анализа вопросы о самых типичных значениях признака и диапазоне разброса отдельных наблюдений. Для облегчения работы с частотными распределениями, а также для обобщенного пред­ставления их характеристик, обычно используют определенные числовые зна­чения — статистики. Дело в том, что специалисты по статистике используют последний термин в двух значениях: как название своей дисциплины и как обо­значение какой-либо числовой функции, описывающей результаты наблюдений. Наибольшее практическое значение имеют две группы статистик: меры цент­ральной тенденции и меры изменчивости (разброса).

Меры центральной тенденции указывают на расположение среднего, или ти­пичного, значения признака, вокруг которого сгруппированы остальные наблю­дения. Понятие среднего, центрального, значения в статистике, как и в повсед­невной жизни, подразумевает нечто «ожидаемое», «обычное», «типичное». Способность среднего значения давать некую обобщенную информацию о рас­пределении вытекает из того соотношения, которое связывает среднее значе­ние с другими «особыми» точками распределения — минимумом и максиму­мом: зная среднее значение, мы можем утверждать, что наименьшее наблюдае­мое значение полученного распределения — например, распределения веса или интеллекта — было не больше среднего, а наибольшее зафиксированное значе­ние— не меньше среднего.

Отличие статистической трактовки среднего значения (или, точнее, мер цент­ральной тенденции) от его «житейской» трактовки заключается прежде всего в том, что в статистике, в отличие от повседневной жизни, понятие среднего зна­чения может быть строго задано лишь для одномерного распределения пере­менной-признака. Мы можем, например, указать на семью со средним душе­вым доходом, но при этом не следует ожидать, что данная семья будет средней или типичной в каких-то других отношениях, т. е. будет иметь средний размер, среднюю жилплощадь и т. п. В повседневном общении мы приписываем поня­тию среднего куда более широкий и менее точный смысл. В этом нет большой беды, пока мы не смешиваем «житейскую» и «статистическую» интерпрета­ции. Мы действительно получаем полезную информацию, узнав, что окружаю­щие говорят о ком-то как о «человеке средних способностей», но будет ошиб­кой заключить, что некто X, имеющий средний показатель интеллекта, наверняка имеет средние успехи в учебе или посредственно сочиняет стихи. Именно поэтому популярные газетные образы «среднего российского подростка» или «среднего читателя», в сущности, лежат за пределами корректного использова­ния статистики.

Самой простой из мер центральной тенденции является мода (Мо). Для номи­нальных переменных мода — это единственный способ указать наиболее ти­пичное, распространенное значение. Разумеется, исследователь может пользо­ваться модальным значением и для характеристики распределения переменных, измеренных на более высоком уровне, если для этого существуют содержатель­ные основания (например, описывая распределение ответов на вопрос о коли­честве подписываемых журналов). Мода — это такое значение в совокупнос­ти наблюдений, которое встречается чаще всего. Например, если в выборке содержится 60% православных, 30% мусульман и 10% представителей других конфессий, то модальным значением будет «православный». У моды как меры центральной тенденции есть определенные недостатки, ограничивающие ее интерпретацию. Во-первых, в распределении могут быть две и более моды (со­ответственно оно является бимодальным или мультимодальным). Скажем, если в группе из десяти человек четверо не имеют автомобиля (0), четверо имеют один автомобиль, один человек имеет две машины и еще один — три, то нам придется указать два модальных значения — 0 и 1. Кроме того, мода чрезвы­чайно чувствительна к избранному способу группировки значений переменной. Объединяя категории ответа, мы резко увеличиваем число наблюдений в от­дельных категориях. Это открывает широкий простор для манипулирования данными (не всегда добросовестного). Поэтому «правилом хорошего тона» при вычислении модального значения для сгруппированных количественных дан­ных является выравнивание ширины для всех интервалов класса. Еще одно важное правило касается случаев, когда частоты для всех наблюдаемых значений почти равны. Здесь лучше воздержаться от вычисления моды, так как в этом случае она просто не может быть интерпретирована как мера центральной тен­денции. Если, скажем, 48% болельщиков поддерживают сборную Италии, а 49% — сборную Бразилии, модальное значение «поддерживает бразильцев» будет не очень модальным. И все же во многих случаях вычисление моды и необходимо, и полезно. Например, для архитектора, занимающегося планиро­ванием жилых домов, знание модального значения для размера семьи в данной местности, может оказаться весьма важным.

Другая мера центральной тенденции — медиана — обычно используется для ординальных переменных, т. е. таких переменных, значения которых могут быть упорядочены от меньших к большим. Пример вычисления меди­аны рассматривался нами в главе 6. Напомним, что медиана (Md) — это зна­чение, которое делит упорядоченное множество данных пополам, так что одна половина наблюдений оказывается меньше медианы, а другая — боль­ше. Иными словами, медиана — это 50-й процентиль распределения. Как мы уже видели, при работе с большим массивом данных удобнее всего ис­кать медиану, построив на основании частотного распределения распреде­ление накопленных частот (или построив распределение накопленных про­центов на основании распределения процентов). Для того чтобы найти ме­дианное значение для маленького массива наблюдений, достаточно упорядочить наблюдения от меньших значений переменной к большим: то значение, которое окажется в середине, и будет медианным. Например, для ряда: 17 баллов, 18 баллов, 20 баллов, 21 балл, 22 балла, медианой будет значение 20 баллов. Если число значений в группе наблюдений четное, то медианой будет среднее двух центральных значений. Медиану иногда назы­вают «позиционным средним», так как она указывает именно среднюю по­зицию в упорядоченном ряду наблюдений. Медиана может совпадать или не совпадать с модой. При этом медиана лучше всего соответствует нашему интуитивному представлению о середине упорядоченной последовательно­сти чисел. Некоторые исследователи даже полагают, что медиана — лучше и «справедливее» среднеарифметического при описании таких величин, как, скажем, доход семьи. Ведь семьи, имеющие доход ниже среднего, могут со­ставить и 60, и 70% населения. Когда же мы говорим, например, что медиан­ный доход составил 10 млн. рублей в год, то не более 50% семей окажутся «ниже среднего уровня». На медиану не влияют величины «крайних» очень больших или малых значений.

И все же для количественных переменных самойважной и распространен­ной является другая мера центральной тенденции— среднее арифметическое, которое чаще всего называют просто средним(и обозначают как ).Процедура определения среднего общеизвестна: нужно просуммировать все значения наблюдений и разделить полученную сумму на число наблюдений. В общем случае:

где Х₁ ... X_i — наблюдаемые значения,

n — число наблюдений,

å — знак арифметической суммы.

В таблице 8.2 показано, как вычислить средний возраст для выборки из 20 по­сетителей библиотеки. Заметьте, что каждое значение просто умножается на свою абсолютную частоту.

Приведенный нами пример (см. табл. 8.2) показывает, насколько среднее уязвимо для «крайних» значений. Фактически для нашей небольшой выбор­ки молодых людей прибавление одного — восьмидесятилетнего — читате­ля заметно увеличило средний возраст. Следует, однако, помнить о том, что степень «возмущения» среднего под влиянием единичных очень больших или малых значений уменьшается в прямом соответствии с ростом объема выборки. Заметим также, что при расчете среднего для сгруппированных, данных частоты умножаются на значение, соответствующее середине интер­вала группировки.

Таблица 8.2