Контрольная работа №3

Задание 1.Найти полный дифференциал функции двух переменных.

1.	f (x, y )= x 3	+ y 5- 2xy2	2.	f (x, y )= x 3	+ y 5-2x cos y
3.	f (x, y )= x 2	+ 5xy 5	- y2	4.	f (x, y )= x 3	+ 2 y 2 - y 2 sin x
5.	f (x, y )=ln x +3y 5	- 2xy	6.	f (x, y )= x 3	+ ln y - x cos y
7.	f (x, y )=3x + y 5- 4xy	8.	f (x, y )= x 3+ 5y - 2x ln y
9.	f (x, y )= x 3	+ e y - 3x cos y	10.	f (x, y )= e x	+ 2 y 3 - y ln x

Задание 2.Найти частные производные2-ого порядка от заданныхфункций:

1. f (x, y )

3. f (x, y )

5. f (x, y )

7. f (x , y)

9. f ( x , y)

= ln(x ² + x sin y)

= tg ( x²+5^{y +x} )

= sin(x ² y ³ + e^{x -y} )

= ln	5 + xy
(x 2 + sin y)

=		e y +sin x
xy

2. f (x, y )=sin(xy ²+ln y)

4. f (x, y )=cos(2x ⁴ y + e^{2 x} )

6. f (x, y )= e ^{- y} (x ²+sin y)

8.	f (x , y)=		y +sin2	x
x

10. f (x, y )= arctg ( x ³+ x ln y)

Задание 3.Вычислить двойной интеграл:

1.

òò(

27x

y

+ 48x

y

)

dxdy

2.

òò(

27x

y

+ 48x

y

)

dxdy

D

D

D : x =1, y = x 2, y = -3 x

D : x =1, y = x , y = -x3

3.

òò(

4xy

+ 3x

y

)

dxdy

4.

18x

y

+ 32x

y

)

dxdy

òò(

D

D

D : x =1, y =3 x , y = -x3

D : x =1, y = x 3, y = -3 x

5.

òò(

6xy

+ 24x

y

)

dxdy

6.

òò(

24xy

+

18x

y

)

dxdy

D

D

D : x =1, y = x , y = -x2

D : x =1, y = x 3, y = -3 x

7.

òò(

8xy + 9x

y

)

dxdy

8.

òò(

4xy +

16x

y

)

dxdy

D

D

D : x =1, y =3 x , y = -x3

D : x =1, y = x 2, y = -3 x

9.

12xy

+ 9x

y

)

dxdy

10.

18x

y

+ 32x

y

)

dxdy

òò(

òò(

D

D

D : x =1, y = x , y = -x2

D : x =1, y = x 3, y = - x

Задание 4.Решить ОДУ:

1. xydx +(x +1)dy =0

2. y¢ - xy ²=2xy

3. y ²+1dx = xydy

4. y¢ =cos( y - x)

5. y¢ = 4x + 2 y -1

6. y ¢ =3³ y²

7. (x +2 y ) y¢ =1

8. (x ²-1) y¢ +2 xy²=0

9. xy¢ + y = y²

10. y¢ - y =2 x -3

y ²+ x ² y¢ = xyy¢ xy¢ = y - xe^{y / x}

x - y -1+( y - x +2) y¢ =0 xy ¢ - y = xtg _x^y

2 y¢ + x = 4 y 2x ² y¢ = y ³ + xy

xy¢ = x ²- y ²+ y

(x +4 y ) y¢ =2x +3y -5

(x ²+ y ²)y ¢ =2xy

x ³( y¢ - x )= y²

xy ² y¢ = x ²+ y³ x ² y¢ + xy +1=0

y = x ( y¢ - x cos x)

(x + y ²)dy = ydx

y¢ +2 y = y ² e^x

2x (x ² + y ) dx = dy (2e ^y - x ) y¢ =1 xy¢ -2 y =2x⁴

y¢ =	y
3x - y2

(xy + e ^x )dx - xdy =0

Задание 5.Решить уравнение:

1.

y¢¢

+ y = x sin x

2.

¢¢

¢

= e

4 x

y

- 2 y - 3y

3.

y¢¢

e

x

4.

¢¢

+ y =4sin x

+ 2 y¢ - 3 y = x

y

5.

y¢¢

- 3 y¢ + 2 y = sin x

6.

¢¢

- y =2e

x

- x

y

7.

¢¢

¢

x

8.

¢¢

+ y =4xe

x

y

- 2 y + y = 6xe

y

9.

y¢¢

- 9 y = e3 x cos x

10.

y¢¢-3 y¢+2 y = x cos x

Задание 6.Решить задачу Коши:

1. а) (y ⁴ e ^y + 2 x ) y ¢ = y , y (0 ) =1 б) y¢¢y ³ + 64 = 0, y (0 ) = 4, y¢(0 ) = 2

2.

а)

¢¢

+ 2sin y cos

y =0, y (0)=

¢

(0 ) =1

2 ( 4 y

+ 4 y - x ) y¢ =1, y (0 ) = 0

б) y

0, y

3.

¢

+ xy =1+ x

)

e

- x

, y

(

)

=

¢¢

, y

(

)

=1, y

¢

(

)

= 5

а) y

y

1 б) y

= 50 y

(

4. а) 2 ( xy¢ + y ) y¢ = xy ² , y (1) = 2 б) y¢¢y ³ + 36 = 0, y (0 ) = 3, y¢(0 ) = 2

5. а) 3 ( xy¢ + y ) = y ² ln x, y (1) = 3 б) y¢¢ = 8sin ³ y cos y , y (1) = p / 2, y¢(1) = 2

6.	а) 2 ( y¢ + y ) = xy 2 , y (0 ) = 2	б) y¢¢ = 32 y 3 , y (4 ) =1, y¢(4 ) = 4
7.	а)			¢¢		+ 9	= 0, y 1	¢
		б) y y		=1, y 1 = 3
	8 ( 4 y + xy - y )y¢ =1, y (0 ) = 0				( )		( )
8.	а) xy¢ + y = 2 y 2 ln x, y 1 =1/ 2	б)
y¢¢ + +18sin y cos3 y =0, y (0)=4, y¢(0)=2
		( )

9. а) 2 ( x + y ⁴ )y¢ = y , y (-2 ) = -1 б) y¢¢y ³ + 4 = 0, y (0 ) = -1, y¢(0 ) = -2

¢

, y

(

)

=1/ 2

¢¢

= 8sin

y cos y , y 1

= p / 2, y

¢

= 2

10. а) y

- y = 2 xy

б) y

( )

( )

Задание 7.Исследовать на сходимость:

¥

¥

(

n!

2

¥

n2

¥

æ 2n +1 ö

å

sin

å

)

å

1.

n

n

n2

åç2

÷

(n +1)ln (2n)

n=1

n=1

n=1 è n +1

ø

n=1

¥

n +5

¥

æ 2n + 2

ö

n

¥

¥

å

sin

n +1

å

n

åç

÷ (

)

2.

å

n

- ln n

n=1

n!

n=1

è 3n +1

ø

n=2

(2 n - 3 ) ln ( 3n +1)

n=1

¥

n+1

(

n +1

¥

n2

+ 2

å

)

3.

å

;

(n +1)!

n

+ sin 2

n

n=1

n=1

¥

n3

¥

arctg

4.

å

ln

n

n

+1

å

n=1

n!

n=1

¥

¥

å

n!

arctg 3

5.

n -1

n -1å

n=1

(3n)!

n=1

¥

æ

4n - 3

ö

n3

¥

å

åç

÷

n ln

(3n +1)

n=1

è

5n +1 ø

n=2

n2

¥

¥

æ

n + 2

ö

å

(n -2)ln(n -3)

åç

÷

n=5

3n -1

n=1

è

ø

.

¥

æ

3n + 2

ö

n

2¥

n -1

åç

÷ (

)

n=1 è

4n -1

ø

å

(n +

2 ) ln

n

n=2

¥

n2

+ 5

6.

åln

n

+ 4

n=1

¥

7.

å

n

- cos

6n

n=1

¥

n2

+1

8.

åln

n

+ n + 2

n=1

¥

2n + cos n

9.

å

n

+ sin n

n=1

¥

å

sin

.

n

-1

n +5

n=1