Примеры представлений групп

Рассмотрим группу G – группу симметрий трехмерного пространства, состоящего из трех элементов: I – тождественное преобразование и Р – отражение пространства относительно начала координат.

Т.е. G = {I, P}. При этом умножение элементов задано таблицей:

1) Одномерное представление группы G.

Пусть Е¹ – пространство представлений и е₁ – базис. Пусть линейный невырожденный оператор А⁽¹⁾ в этом базисе имеет матрицу А⁽¹⁾ = (1). Очевидно, это преобразование образует подгруппу в группе GL(1) причем умножение в этой подгруппе задается по правилу:

Мы получили одномерное представление D⁽¹⁾(G) группы G

D⁽¹⁾(I) = А⁽¹⁾; D⁽¹⁾(P) = А⁽¹⁾;

2) Двумерное представление группы G. Выберем в Е² базис {е₁, е₂} и рассмотрим в этом базисе матрицы преобразований: операции задаются таблицей:

Получим двумерное представление группы G с помощью соотношений: D⁽²⁾(I) = А⁽²⁾; D⁽²⁾(P)= В⁽²⁾;

Этими соотношениями определяется изоморфизм группы G на подгруппу {A⁽²⁾; B⁽²⁾} группы GL(2), т.е. это точное представление группы G.

1) Трехмерное представление группы G. Рассмотрим в Е³ в базисе {е₁, е₂, е₃} линейное преобразование А⁽³⁾ с матрицей А⁽³⁾ = и законом умножения: А⁽³⁾×А⁽³⁾ = А⁽³⁾. Получаем трехмерное представление D⁽³⁾(G) с помощью соотношений:

D ⁽³⁾(I) = А⁽³⁾; D⁽³⁾(P) = А⁽³⁾.

4) Четырехмерное представление группы G. Рассмотрим в Е⁴ линейные преобразования А⁽⁴⁾ и В⁽⁴⁾ с матрицами: . Преобразования А⁽⁴⁾ и В⁽⁴⁾ образуют подгруппу в GL(4) с законом умножения, аналогичным примеру 2, соотношениями: D⁽⁴⁾(I) = А⁽⁴⁾, D⁽⁴⁾(P) = В⁽⁴⁾.

Заметив, что А⁽⁴⁾ и В⁽⁴⁾ можно записать в виде ,

можно записать (условно): D⁽⁴⁾(G) = D⁽²⁾(G) + D⁽²⁾(G) = 2D⁽²⁾(G).

Аналогично можно условно записать D⁽³⁾(G) = 3D⁽³⁾(G).

Используя это замечание можно без труда построить представление группы G любой конечной размерности.

Элементы теории тензоров

Определитель Грамма

Def: Определителем Грамма, системы векторов {e₁, e₂, …, e_k} называется определитель

Г(e₁, e₂, …, e_k) = .

Т°. Для того чтобы система векторов {e₁, e₂, …, e_k} евклидова пространства E_n была

линейно-зависимой необходимо и достаточно чтобы Г(e₁, e₂, …, e_k) был равен

нулю.

◀ Необходимость. Пусть e₁, e₂, …, e_k линейно зависимы. Тогда e_k = a₁e₁ + a₂e₂ +…+ e_k–1a_k–1 и в Г(e₁, e₂, …, e_k) элементы последней строки имеют вид a₁(e₁,e_i) + a₂(e₂,e_i) + …+ a_k–1(e_k–1,e_i), т.е. последняя строка есть линейная комбинация остальных Þ Г(e₁, e₂, …, e_k) = 0.

Достаточность. Пусть Г(e₁, e₂, …, e_k) = 0 Þ строки его линейно зависимы Þ $b₁, b₂, …, b_k b₁(e₁,e_i) + … + b_k(e_k,e_i) = 0 Þ (b₁e₁ + … + b_ke_k = 0 и не все b_i = 0 Þ e₁, e₂, …, e_k линейно зависимы. Противоречие ▶

Следствие. Если e₁, e₂, …, e_k линейно независимы, то Г(e₁, e₂, …, e_k) ¹ 0. Более того, Г(e₁, e₂, …, e_k) > 0

◀ Рассматриваем ℒ(e₁, e₂, …, e_k). Тогда (e_k,e_i) – элементы матрицы некоторой симметрической билинейной формы, соответствующая которой квадратичная форма определяет скалярное произведение, т.е. является положительно определенной. Следовательно, по критерию Сильвестра D₁ > 0, D₂ > 0, …, D_k > 0. Но D_k = Г(e₁, e₂, …, e_k) ▶

§2. Взаимные базисы.

Ковариантные и контравариантные координаты векторов

Пусть E_n – евклидово пространство, пусть {e₁, e₂, …, e_n }базис в E_n и {e¹, e², …, eⁿ}другой базис в E_n. Базисы {e_i} и {eⁱ} называются взаимными, если (e_i, e^j) = = .

­символ

Кронекера-Капелли.

Т°. Любой базис {e_i} из E_n имеет единственный взаимный базис.

◀ Пусть e^j = e₁ + e₂ + … + e_n. Умножим равенство скалярно на e_i.

(e_i, e^j) = (e_i, e₁) + (e_i, e₂) + … + (e_i, e_n) = , i, j = 1, 2, …, n.

Имеем неоднородную систему n-линейных уравнений с n неизвестными , Определитель этой системы есть Г(e₁, e₂, …, e_n) ¹ 0, т.е. система имеет единственное ненулевое решение.

Следовательно векторы e^j определяются однозначно. Убедимся в том, что они образуют базис (т. е. являются линейно независимыми).

Пусть a₁e¹ + a₁e² + …+ a_neⁿ = 0. Умножим скалярно на e_i.

a₁(e_i, e¹) + a₂(e_i, e²) + … + a_n(e_i, eⁿ) = 0 Þ a_i = 0, i, j = 1, 2, …, n ▶

Замечание: если базис {e_i} ортонормированный, то его взаимный базис совпадает с данным базисом.

Пусть {e_i} и {e^j} взаимные базисы в Е_n.

Тогда "хÎЕ_n (1)

(x₁, x₂, …, x_n) называются ковариантными координатами вектора x.

(x¹, x², …, xⁿ) называются контравариантными координатами вектора x.

Смысл названий мы поясним далее.

Соглашение: Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей, которые снабжены конечным числом индексов (верхних и нижних). При этом договариваются, что все нижние индексы обозначаются разными символами (аналогично верхние). Если в таком выражении встречаются два одинаковых индекса, из которых один верхний, а другой – нижний, то считается, что по таким индексам производится суммирование от 1 до n.

Например: .

Используя, это соглашение формула (1) записывается так: x = x_ieⁱ, x = xⁱe_i, (индекс суммирования может быть обозначен любым символом, результат не изменится – и часто называется «немым» (иногда «глухим») индексом).

Пусть x = x_ieⁱ. Умножив на e_j, получим (x,e_j) = x_i(eⁱ,e^j) = x_i = x_j. Аналогично x = xⁱe_i умножим на e^j и получим (x,e^j) = xⁱ(e_i,e^j) = xⁱ = x^j. Т.е. получили формулы:

эти формулы называются формулами Гиббса.

Тогда используя формулы Гиббса, запишем: e_j = (e_j,e_i)eⁱ и e^j = (e^j,eⁱ)e_i и обозначив g_ji = (e_j,e_i) , g^ji = (e^j,eⁱ) получим e_j = g_jie_i; e^j = g^jieⁱ.

Т.е. для получения взаимного базиса {e_j}по базису {eⁱ} достаточно знать матрицу g_ji = (e_j,e_i) и наоборот: для получения базиса {e^j} по базису {e_i} достаточно знать матрицу g^ji = (e^j,eⁱ) . (Точнее их обратные матрицы).

Т°. Матрицы g_ji и g^ji – взаимнообратные.

◀ Соотношение e_i = g_jie^j умножим на e^k : = (e_i,e^k) = g_ji(e^j,e^k) = g_jig^jk Þ g_jig^jk = , т.е. произведение матриц (g_ji) и (g^ji) есть единичная матрица ▶

Задача 1. По заданному базису {e_i} (нижнему) построить ему взаимный базис {eⁱ} (верхний), по заданному верхнему базису построить взаимный нижний.

◀ а) Чтобы построить базис взаимный к нижнему надо найти матрицу G_H = (g_ik) = (e_i, e_k), обратить матрицу, получив (G_H)^–1 и подействовать этой матрицей на матрицу F_H, строками которой являются векторы нижнего базиса. После перемножения получится матрица F_B, строками которой являются векторы верхнего базиса.

б) Чтобы построить базис взаимный к верхнему надо найти матрицу G_В = (g^ik) = (eⁱ, e^k), обратить ее, получив (G_В)^–1 и подействовать этой матрицей на матрицу F_B, строками которой являются векторы верхнего базиса. После перемножения получится матрица F_H,

строками которой, являются векторы нижнего базиса.

в) именно так трактуются формулы: e_i = g_ijeⁱ = (g^ij)^–1eⁱ; eⁱ = g^ije_i = (g^ij)^–1e_i ▶

Примеры.

1°. Найти базис, взаимный к базису: е₁(1, 1, 0), е₂(1, 0, 1), е₃(0, 1, 1).

◀ а) Строим матрицу: . Получаем: ;

.

б) Составляем матрицу ;

в) и находим: .

г) Строки полученной матрицы F_B и есть векторы взаимного базиса, т.е.

е¹(1/2, 1/2, –1/2), е²(1/2, –1/2, 1/2), е³(–1/2, 1/2, 1/2) ▶

2°.Найдем базис взаимный к базису: е¹(1, 1, 1), е²(0, 1, 1), е³(0, 0, 1).

◀ Строим матрицу: , т.е. ; . Находим .

Таким образом найдены векторы взаимного базиса: е₁(1, 0, 0), е₂(–1, 1, 0), е₃(0, –1, 1) ▶

Задача 2. Вектор х (5, 2, 1) задан своими координатами в том же базисе, в котором заданы векторы двух взаимных базисов: е₁(1, 1, 0), е₂(1, 0, 1), е₃(0, 1, 1) и е¹(1/2, 1/2, –1/2), е²(1/2, –1/2, 1/2), е³(–1/2, 1/2, 1/2). Найти ковариантные и контравариантные координаты вектора х в базисе {e₁, e₂, e₃, e¹, e², e³}.

◀ Вектор x = (xe_i)eⁱ = 7e¹ + 6e² + 3e³ поэтому (х₁, х₂, х₃) = (7, 6, 3) – ковариантные координаты х.

Вектор x = (xeⁱ)e_i = 3e₁ + 2e₂ – e₃, следовательно (х¹, х², х³) = (3, 2, –1) – контравариантные координаты х ▶