По координатам точки пространства

Пусть – тензорное поле r^го ранга. Каждую из 3^r компонент этого поля продифференцируем по каждой из трех координат x₁, x₂, x₃. Получим совокупность 3^r+1 функций вида (j = 1, 2, 3).

Тº. Если – тензорное поле ранга r, то будет тензорным полем ранга (r + 1).

◀ Отметим что, если x_i = p_ii¢ то = p_ii¢ = , и следовательно

▶

Итак, дифференцирование тензорного поля по координатам повышает ранг тензорного поля на единицу.

В частности, применение этой операции к скалярному полю φ порождает векторное поле , которое называется градиентом скалярного поля.

По аналогии с градиентом скалярного поля, тензорное поле (j = 1, 2, 3) называют градиентом тензорного поля ранга r.

§15. Дифференциальные операции 1^го порядка

1°. Для векторного поля A_i образуем градиент векторного поля , а затем получившийся тензор свернем по индексам i, j : .

Как известно, такая величина в векторном анализе называется дивергенцией векторного поля А ( divA ). Подобным образом можно получить дивергенцию тензорного поля любого ранга, выше нулевого.

Результирующее тензорное поле имеет ранг на единицу меньший, чем исходное поле.

Для тензорного поля ранга r можно получить r различных тензорных полей (r – 1)^го ранга типа «дивергенции» в зависимости от того, какой из индексов исходного поля сворачивается с индексом дифференцирования: .

2°. В векторном анализе известна такая дифференциальная операция, как rotA = Ñ´A. В тензорном представлении . Оператором можно действовать на тензор любого ранга выше нулевого и затем сворачивать индекс l с одним из индексов этого тензора. Результирующее тензорное поле имеет тот же ранг, что и исходное.

Для тензорного поля ранга r можно получить r различных тензорных полей r^го ранга типа «ротор» в зависимости от того с каким из индексов исходного поля сворачивать индекс l.

.

3°. Схематически операции градиента, дивергенции и ротора тензорного поля произвольного ранга можно задать следующим образом:

(gradT…)_i = ,

(divT…_i…) = ,

(rotT…_l…) = .

§16. Дифференциальные операции 2^го порядка

1°.Для скалярной функции φ: , и такая величина называется лапласианом функции.

Аналогично можно ввести лапласиан произвольного тензора ранга r и получить тензорное поле того же ранга:

Рассмотрим divrotA, где А – произвольное векторное поле:

Div rotA =

.

Равенство подчеркнутых выражений позволяет заключить, что divrotA = 0 для любого векторного поля А.

Аналогичное тождество имеет место для тензорного поля любого ранга (кроме нулевого): .

3°. Проверим справедливость тождества: rot rot = grad div - Δ .

◀ (rot rot A)_i =

(divA) - (DA)_i = (grad divA)_i - (DA)_i = (grad divA - DA)_i ▶

Аналогичное тождество можно записать и для произвольного тензорного поля.