Подпространства. сумма и пересечение подпространств

Вопросы для самоконтроля:

1.Что называется подпространством линейного пространства?

2.Как найти размерность и базис линейной оболочки конечной системы векторов (то есть подпространства, натянутого на эти векторы)?

3.Что называется суммой подпространств, пересечением подпространств? Чему равна размерность суммы подпространств?

4.Как найти размерность и базис суммы и пересечения подпространств?

5.Когда сумма подпространств называется прямой суммой?

ВАРИАНТ 1

1.Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

x₁=(1,1,1,1), y₁=(1,-1,-1,1),

x₂=(1,1,-1,-1), y₂=(2,-2,0,0),

x₃=(1,-1,1,-1); y₃=(3,-1,1,1).

2.Доказать, что если размерность суммы линейных подпространств пространства А_n на единицу больше размерности их пересечения, то сумма совпадает с одним из этих подпространств, а пересечение – с другим.

ВАРИАНТ 2

1.Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

a₁=(1,2,1), y₁=(2,3,-1),

a₂=(1,1,-1), y₂=(1,2,2),

a₃=(1,3,-3); y₃=(1,1,-3).

2.Пусть L, L₁, L₂ – подпространства пространства А_n. Доказать, что L тогда и только тогда будет прямой суммой L₁, L₂, когда выполняются условия:

а) L содержит L₁, L₂;

б) каждый вектор xÎL однозначно представляется в виде x=x₁+x₂, где x₁ÎL₁, x₂ÎL₂.

ВАРИАНТ 3

1.Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

x₁=(0,1,1,1), y₁=(-1,3,2,-1),

x₂=(1,1,1,2), y₂=(1,1,0,-1),

x₃=(-2,0,1,1); y₃=(-1,7,4,-3).

2.Доказать, что сумма S подпространств L₁ и L₂ тогда и только тогда будет прямой, когда хотя бы один вектор xÎS однозначно представляется в виде x=x₁+x₂, где x₁ÎL₁, x₂ÎL₂.

ВАРИАНТ 4

1.Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

a₁=(1,1,0,0), y₁=(2,2,2,2),

a₂=(1,1,2,2), y₂=(2,0,1,-1),

a₃=(3,1,3,1); y₃=(3,1,2,0).

2.Пусть линейное пространство L является прямой суммой подпространств L₁, L₂. Доказать, что размерность L равна сумме размерностей L₁, L₂, причем любые базисы L₁, L₂ дают вместе базис L.

ВАРИАНТ 5

1.Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

x₁=(2,-1,0,0,3), y₁=(2,1,1,-1,1),

x₂=(4,-2,0,0,6), y₂=(1,0,1,0,1),

x₃=(0,1,1,0,2); y₃=(1,1,0,-1,0).

2.Доказать, что сумма L подпространств L₁, L₂ тогда и только тогда будет прямой, когда объединение базисов этих подпространств дает базис L.

ВАРИАНТ 6

1.Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

a₁=(1,2,0,1), a₂=(1,1,1,0), a₃=(3,5,1,2);

b₁=(1,0,1,0), b₂=(1,3,0,1), b₃=(3,6,1,2).

2.Доказать, что в пространстве P_n многочленов степени £n

а) множество L₁ четных многочленов f(t) (то есть таких, что f(-t)=f(t)) и множество L₂ нечетных многочленов (то есть таких, что f(-t)=-f(t)) являются подпространствами;

б) справедливо равенство .

ВАРИАНТ 7

1.Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

a₁=(1,1,0,0,1,1), a₂=(2,1,0,2,1,0), a₃=(0,0,2,0,0,-2);

b₁=(1,0,0,2,0,-1), b₂=(1,1,1,-1,-1,-1), b₃=(3,1,1,3,-1,-3).

2.Линейное пространство V разложено в прямую сумму подпространств L₁, L₂. Доказать:

а) всякий вектор x из V имеет единственное разложение x=x₁+x₂, где x₁ÎL₁, x₂ÎL₂;

б) если вектор x имеет разложение x=x₁+x₂, x₁ÎL₁, x₂ÎL₂, то разложение вектора λx по подпространствам L₁, L₂ имеет вид λx=λx₁+λx₂;

в) если y – вектор с разложением y=y₁+y₂, y₁ÎL₁, y₂ÎL₂, то для вектора x+y разложение по пространствам L₁, L₂ будет x+y=(x₁+y₁)+(x₂+y₂).

ВАРИАНТ 8

1.Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

a₁=(1,-2,1), a₂=(0,-3,3), a₃=(2,-7,5), a₄=(1,-3,2);

b₁=(1,0,0), b₂=(2,2,0), b₃=(0,0,3), b₄=(4,4,3).

2.Проверить, что подпространства L₁ и L₂, натянутые на системы векторов x₁=(2,3,11,5), x₂=(1,1,5,2), x₃=(0,1,1,1) и y₁=(2,1,3,2), y₂=(1,1,3,4), y₃=(5,2,6,2) соответственно, дают в прямой сумме все подпространство A_4, и найти разложение вектора x=(2,0,0,3) по этим подпространствам.

ВАРИАНТ 9

1.Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

x₁=(1,-1,-1,1), x₂=(0,2,2,0), x₃=(0,3,2,-1);

y₁=(0,1,2,-1), y₂=(1,-1,1,1), y₃=(2,-1,4,1).

2.Проверить, что симметрические матрицы и кососимметрические матрицы линейного пространства М₃ матриц третьего порядка составляют подпространства L₁ и L₂. Доказать, что пространство М₃ является их прямой суммой.

ВАРИАНТ 10

1.Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

a₁=(1,1,1,1), a₂=(1,-1,1,-1), a₃=(1,3,1,3);

b₁=(1,2,0,2), b₂=(1,2,1,2), b₃=(3,1,3,1).

2.Доказать, что сумма подпространств L₁, L₂ будет их прямой суммой в том и только в том случае, если всякая система ненулевых векторов x₁, x₂, взятых по одному из каждого L₁, L₂, линейно независима.

ВАРИАНТ 11

1.Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

a₁=(1,1,0,0), a₂=(0,1,1,0), a₃=(0,0,1,1);

b₁=(1,0,1,0), b₂=(0,2,1,1), b₃=(1,2,1,2).

2.Проверить, что симметрические матрицы и верхние треугольные матрицы пространства М₃ матриц третьего порядка составляют подпространства P и Q. Что представляет собой сумма P+Q и пересечение PÇQ?

ВАРИАНТ 12

1.Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

x₁=(1,2,1,-2), x₂=(2,3,1,0), x₃=(1,2,2,-3);

y₁=(1,1,1,1), y₂=(1,0,1,-1), y₃=(1,3,0,4).

2.Проверить, что в пространстве P_n множество Q={f(x)|f(1)=0} составляет подпространство. Найти такое подпространство R пространства P_n, что . Найти разложение вектора 2x²+3x+2 по этим пространствам.

ВАРИАНТ 13

1.Найти базис и размерность суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы:

a₁=(2,-5,3,4), a₂=(1,2,0,7), a₃=(3,-6,2,5);

b₁=(2,0,4,6), b₂=(1,1,1,1), b₃=(3,3,1,5).

2.Доказать, что в пространстве A_n множества L₁={(x₁,…,x_n)|x₁+..+x_n=0, x₁,...,x_nÎR} и L₂={(x₁,…,x_n)|x₁=…=x_n, x₁,…x_nÎR} составляют подпространства, и пространство A_n является их прямой суммой.