Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

12. Теорема 1
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Теорема2
1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Теорема3
2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

13. Две пересекающиеся плоскости, называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ.
Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

14. Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

15. Способ вращения геометрической фигуры вокруг некоторой оси состоит в том, что фигура вращается вокруг оси до требуемого положения относительно заданной неподвижной системы плоскостей проекций.

В качестве оси вращения может быть взята любая прямая. В практике же преобразования комплексного чертежа широкое распространение получило вращение вокруг проецирующих прямых и линий уровня.

16.

17. Если отрезок параллелен плоскости, то он проецируется на неё без искажений. В остальных случаях для нахождения его натуральной величины применяют метод прямоугольного треугольника или способы преобразования ортогональных проекций.

18. Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M₁, не лежащая на прямой a. Проведем через точку M₁ прямую b, перпендикулярную прямой a. Обозначим точку пересечения прямых a и b как H₁. Отрезок M₁H₁называется перпендикуляром, проведенным из точки M₁ к прямой a.Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

19. Через каждую из скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, которой параллельна другая прямая. Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

20.Многогранник - это ограниченное тело, поверхность которого со­стоит из конечного числа многоугольников. Выпуклый многогранниклежит по одну сторону от каждого из ограничивающих его много­угольников. Многоугольник на поверхности многогранника называ­ется его гранью. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины граней - вершинами многогранника.

Простейшие многогранники - это призма и пирамида. Призмой на­зывается многогранник, у которого две грани, называемые основа­ниями призмы, равны и их соответственные стороны параллельны, а остальные грани - параллелограммы, у каждого из которых две сто­роны являются соответственными сторонами оснований.

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикуляр­ны основанию.

Прямая призма называется правильной, если ее основанием являет­ся правильный многоугольник.

Призма, у которой основание - параллелограмм, называется па­раллелепипедом.

Параллелепипед называется прямоугольным, если все его грани -прямоугольники.

Куб - это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, т.е. все грани которого - квадраты.

21. В результате пересечения многогранника плоскостью образуется плоская фигура, которая называется сечением многогранника. Линия, ограничивающая фигуру сечения, называется линией пересечения. Фигура сечения многогран- ника плоскостью представляет собой плоский многоугольник.

Линия пересечения многогранников определяется по точкам пересечения ребер каждого из них с гранями другого многогранника или построением линией пересечения граней многогранников. Соединяя каждые пары таких точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем линию пересечения многогранников.

Линия пересечения многогранников представляет собой замкнутую пространственную ломаную линию ( или две замкнутых ломаных линии), которая проходит через точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и ребер другого с гранями первого.

Линия пересечения многогранника с плоскостью представляет собой многоугольник

Линией пересечения многогранника плоскостью в общем случае является плоский многоугольник. Задача сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью или к определению линий пересечения плоскостей.

22. По виду образующей:линейчатые(неразвёртываемые,развёртываемые:цилиндр,конуспирамида,призма),криволинейные Образованные движением прямолинейной образующей

По закону движения:образующая плоскость,образующая пространственная(сфера,эллипсоид,тор)
Образованы движением криволинейной образующей

23. Границей видимости точек на поверхности вращения служат

характерные линии, такие, как экватор и главные меридианы. При

определении видимости точек на фронтальной плоскости определяют их

положение по отношению к главному фронтальному меридиану. Точки,

расположенные между наблюдателем и главным фронтальным

меридианом видимы на фронтальной проекции поверхности вращения, а

расположенные за главным фронтальным меридианом – невидимы. Такие

точки обозначаются в скобках. Поверхность вращения общего вида - построение линий,принадлежащих поверхностям вращения, выполняется по признаку: линияпринадлежит поверхности, если ее точки принадлежат поверхности. Для представления на чертеже поверхности вращения необходимо одно изображение на плоскость параллельную оси вращения, остальные изображения заменяются специальными знаками: «Сфера».

24. Сфера - на ортогональном чертеже сферическая поверхность задаетсяпроекциями центра О (О1,О2,О3) и числовым значением радиуса r.Наибольшая параллель называется экватором m (m1,m2,m3). Экватор - этонаибольшая окружность, параллельная горизонтальной плоскости проекций.Фронтальный главный меридиан n (n1,n2,n3) - это наибольшая окружность,параллельная фронтальной плоскости проекций. Профильный главный меридиан р (р1,р2,р3) - это наибольшая окружность, параллельнаяпрофильной плоскости проекций. Точка принадлежит поверхности сферы, если она принадлежитокружности этой сферы. На эпюре окружности для определения точекпроводятся параллельно экватору или главным меридианам, так как в этомслучае они параллельны плоскостям проекций и проецируются на них внатуральную величинуУсловие принадлежности точки поверхности: точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности.Очерком поверхности называют проекции контурной линии.

25.В случае пересечения линейчатой поверхности плоскостью линия пересечения может быть кривой или прямой.

Для построения линии пересечения линейчатой поверхности плоскостью в общем случае строят точки пересечения прямолинейных образующих поверхности с секущей плоскостью, т. е. находят точки пересечения прямой с плоскостью. Искомую кривую проводят через эти точки.

Для построения линии пересечения линейчатой поверхности с плоскостью в общем случае применяют вспомогательные секущие плоскости. Точки искомой линии определяются в пересечении линий, по которым вспомогательные секущие плоскости пересекают данные поверхность и плоскость. Примеры применения вспомогательных плоскостей рассмотрены ниже.

В сечении цилиндрической поверхности вращения плоскостью могут быть получены следующие линии:окружность,эллипс,две параллельные прямые(образующие).

26.КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ,плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы.

27. Сечение сферы плоскостью представляет плоскую кривую - окружность, принадлежащую секущей плоскости.

28. Для отыскания точек пересечения прямой с поверхностью вращения применяется метод вспомогательной секущей плоскости, которая проводится через рассматриваемую прямую так, чтобы получить простейшую фигуру сечения

29. На рис. 9.14 изображены три случая пересечения цилиндра и конуса вращения. В первом случае цилиндр врезается в конус, так как, если вписать в конус сферу с центром в точке пересечения осей поверхностей, то радиус ее будет больше радиуса цилиндра. Все образующие цилиндра пересекаются с поверхностью конуса. Во втором случае конус врезается в цилиндр, так как сфера, вписанная в цилиндр, пересекает конус. Все образующие конуса пересекают поверхность цилиндра. В третьем случае сфера, вписанная в одну поверхность, касается второй поверхности. В пересечении участвуют все образующие и цилиндра, и конуса, а пространственная линия пересечения поверхностей распадается на две плоские кривые второго порядка - эллипсы.

Это положение подтверждается теоремой Монжа: Если две поверхности второго порядка могут быть вписаны или описаны около третьей поверхности второго порядка, то пространственная кривая их пересечения четвертого порядка распадается на две плоские кривые второго порядка.

На рис. 9.15 показано построение линии пересечения двух цилиндров вращения, заданных своими фронтальными проекциями. Пусть оси данных поверхностей пересекаются и лежат в плоскости, паралельной плоскости П₂. В эти поверхности можно вписать третью поверхность - сферу, которая будет касаться двух цилиндров по окружностям, пересекающимся в точках С и D. На основании теоремы Монжа данные цилиндрические поверхности пересекутся по двум эллипсам, плоскости которых будут проходить через отрезок CD (точки пересечения окружностей соприкосновения сферы и пересекающихся поверхностей). Фронтальные проекции эллипсов изобразятся отрезками прямых А₂В₂ и E₂F₂. На чертеже построен натуральный вид одного из эллипсов с осями АВ и CD (АВ = А₂В₂, CD равна диаметру цилиндров).

Следствие из теоремы Монжа. Если плоскость осей поверхностей второго порядка параллельна плоскости проекций, то пространственная кривая их пересечения четвертого порядка проецируется на эту плоскость в кривую второго порядка. Так на рис.9.12 и 9.14а,б пространственные кривые спроецировались в гиперболы.

30. При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей секущие плоскости, принятые в качестве посредников, могут быть и общего, и частного положения. Более широкое применение находят плоскости частного положения.

31. Пример цилиндра развёртка