НормИРОBАНные пространства

Сосредоточив внимание на таком свойстве множества, как наличие в нем расстояния приходим к понятию метрического пространства.

Сосредоточив внимание на операциях в множестве приходим к понятию линейного пространства.

Если каждое расстояние никак ни связанно с операциями над элементами, то представляется весьма затруднительным построить содержательную теорию части которой соединяли бы вместе алгебраические и метрические понятия.

Поэтому мы будем на метрику, введенную в линейном пространстве накладывать дополнительные условия.

Вещественное или комплексное линейное пространство Х называется нормированным пространством, если для любого хÎХ существует вещественное число ||х|| называемое нормой вектора х такое, что выполняются следующие аксиомы (аксиомы нормы):

А) ||х|| ≥ 0 причем ||х|| = 0 Û х = θ (положительность нормы);

В) ||λх|| = |λ| ||х|| (абсолютная однородность нормы);

С) ||х + у|| ≤ ||х|| + ||у|| (неравенство треугольника).

Примеры норм. Если вектор х в некотором базисе имеет координаты х = (х₁, х₂, … , х_n), то: a) ||х||_l = ; b) ||х||₂ = ; g) ||х||_p = ; d) ||х|| = . Норма b) называется евклидовой нормой.

Связь нормированных и метрических пространств

7°. Нормированное пространство легко превратить в метрическое, вводя r(х, у) = ||х – у||. В самом деле:

◀ А) r(х, у) = ||х – у|| = ||(–1)(у – х) || = |–1| ||у – х|| = ||у – х|| = |–1| ||у – х|| = ||y – x|| = r(y, x);

В) r(х, у) = ||х – у|| ≥0, причем ||х – у|| = 0 Û x – y = θ Û x = y;

С) r(х, у) = ||х – у|| = ||(x – z) + (z – y)|| ≤ ||x – z|| + ||z – y|| = r(х, z) + r(z, у). ▶

Отметим что ||х|| = r(х, θ).

Обратим внимание, что метрика в линейном пространстве обладает свойствами:

А) r(х + z, у + z) = r(х, у) – расстояние не меняется при сдвиге;

В) r(λх, λу)= |λ|r(х, у) – расстояние есть абсолютно однородная функция. (**)

8°. Если в метрическом линейном пространстве Х метрика удовлетворяет двум последним (**) требованиям, то Х можно превратить в нормированное пространство, вводя ||х|| = r(х, θ).

◀ А) ||х|| = r(х, θ) ≥0; ||х|| = r(х, θ) = 0 Û x = θ;

В) ||λх|| = r( λх, θ) = r(λх, λθ) = |λ|r(х, θ) = |λ| ||х||;

С) ||х – у|| = r(х + y, θ) = r(х + y – y, θ – y) = r(х,– y) ≤ r(х, θ) + r(θ,–y) =

= r(х, θ) + |–1|r(y, θ) = ||х|| + ||у||. ▶

9°. Линейное пространство со скалярным произведением является нормированным (||х|| = ) и метрическим (r(х + y) = ||х – у||) пространством. ◀ ▶

Покоординатная сходимость

И сходимость по норме

Далее рассмотрим нормированное линейное пространство с метрикой r(х, у) = ||х – у||.

Сходимость последовательности векторов в такой метрике называется сходимостью по норме.

В вещественном и комплексном конечномерном пространстве, кроме сходимости по норме можно ввести другое понятие сходимости. Для любой последовательности {х_m} векторов из Х запишем разложение векторов х_m по базису {e_k}: . Пусть .

Def: Если "k =1, 2, …, n имеет место , то говорят, что имеет место покоординатная сходимость последовательности {х_m}® х_{0 .}

Координатная сходимость в линейном пространстве является естественной в том смысле, что если два вектора близки, то естественно предположить, что и координаты их близки.

Соответственно, аналогично, естественной сходимостью в нормированном (или метрическом) пространстве является сходимость по норме (или по метрике).