Линейные пространства

Внутренние и внешние операции на множествах. Группы. Поля. Линейные пространства. Примеры.

Линейные пространства. Следствия из аксиом линейного пространства. Примеры линейных пространств.

Линейная комбинация векторов. Линейная оболочка системы векторов. Полные системы векторов. Примеры.

Линейно независимые системы векторов. Связь между полными и линейно независимыми системами векторов.

Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе. Примеры.

Изоморфизм линейных пространств.

Понятие подпространства. Базис и размерность линейных подпространств. Линейные многообразия.

Сумма, объединение и пересечение подпространств. Формула Грассмана.

Прямая сумма подпространств. Размерность и коразмерность подпространства.

Проекция вектора на подпространство, параллельно другому подпространству.

Алгебра матриц.

Определение матрицы. Линейное пространство матриц порядка .

Квадратная, симметричная, антисимметричная матрицы. Линейные пространства симметричных и антисимметричных матриц.

Произведение матриц. Алгебра матриц. Транспонирование, комплексное и эрмитовое сопряжение матрицы. Матрицы треугольного вида.

Евклидовы и унитарные пространства.

Евклидовы пространства. Скалярное произведение в евклидовом пространстве и его свойства.

Длина вектора в евклидовом пространстве, угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.

Ортогональные и ортонормированные системы векторов в евклидовом пространстве. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.

Процесс Штурма ортогонализации системы векторов.

Изоморфизм евклидовых пространств.

Унитарные пространства. Скалярное произведение в унитарном пространстве и его свойства.

Длина вектора в унитарном пространстве. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника.

Ортогональные и ортонормированные системы в унитарном пространстве. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.

Ортогональное дополнение к подпространству. Свойства ортогонального дополнения.

Представление пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.

Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора на подпространство.

Расстояние между вектором и подпространством, вектором и многообразием.

Угол между вектором и подпространством евклидового пространства, угол между вектором и многообразием евклидового пространства.

Метрические и нормированные пространства.

Метрические пространства. Предел последовательности в метрическом пространстве.

Шары в метрическом пространстве. Ограниченные множества. Предельные точки.

Полнота метрических пространств. Теорема о вложенных шарах.

Нормированные пространства. Связь нормированных и метрических пространств.

Покоординатная сходимость и сходимость по норме, связь между ними. Полнота нормированных пространств.

Теория определителей.

Линейные функционалы на линейном пространстве. Пространство линейных функционалов.

Билинейные функционалы на линейном пространстве. Симметричные и антисимметричные билинейные функционалы.

Полилинейные функционалы на линейном пространстве. Симметричные, антисимметричные, абсолютно симметричные и абсолютно антисимметричные полилинейные функционалы.

Определитель квадратной матрицы, как полилинейный абсолютно антисимметричный функционал. Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядка.

Свойства определителей.

Разложение определителя по элементам строки или по элементам столбца.

Миноры порядка, их алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.

Метод вычисления определителей порядка приведением к треугольному виду.

Метод выделения линейных множителей при вычислении определителей порядка. Определитель Вандермонда.

Метод рекуррентных соотношений при вычислении определителя порядка.

Метод представления определителя в виде суммы двух определителей при вычислении определителей порядка.

Метод изменения элементов определителя при вычислении определителей порядка.