Экзаменационные задачи

ПО КУРСУ "ВЫСШАЯ АЛГЕБРА" . Часть I

1. Образуют ли линейное пространство все функции вида экзаменационные задачи - student2.ru , где экзаменационные задачи - student2.ru и экзаменационные задачи - student2.ru - произвольные числа?

2. Образуют ли линейное пространство все непрерывные функции, обращающиеся в 3 при экзаменационные задачи - student2.ru ?

3. Образуют ли линейное пространство все непрерывные функции, обращающиеся в 0 при экзаменационные задачи - student2.ru ?

4. В пространстве полиномов степени не выше 3, является ли подпространством совокупность полиномов у которых экзаменационные задачи - student2.ru ?

5. Найти базис и размерность подпространства многочленов, степени не выше экзаменационные задачи - student2.ru , удовлетворяющих условию: экзаменационные задачи - student2.ru .

6. Найти базис и размерность подпространства полиномов, степени не выше экзаменационные задачи - student2.ru и удовлетворяющих условию: экзаменационные задачи - student2.ru .

7. Найти базис и размерность линейной оболочки, натянутой на векторы: экзаменационные задачи - student2.ru .

8. Найти размерность линейного подпространства, порожденного векторами: экзаменационные задачи - student2.ru .

9. Найти размерность и базис линейной оболочки, натянутой на систему векторов: а) экзаменационные задачи - student2.ru ;

б) экзаменационные задачи - student2.ru .

10. Найти координаты вектора экзаменационные задачи - student2.ru в базисе

экзаменационные задачи - student2.ru .

11. Показать, что векторы экзаменационные задачи - student2.ru образуют базис и найти координаты вектора экзаменационные задачи - student2.ru в этом базисе.

12. Найти координаты полинома экзаменационные задачи - student2.ru в базисе экзаменационные задачи - student2.ru линейного пространства полиномов степени не выше экзаменационные задачи - student2.ru .

13. Найти координаты вектора экзаменационные задачи - student2.ru в ортогональном базисе экзаменационные задачи - student2.ru , если экзаменационные задачи - student2.ru .

14. Являются ли векторы экзаменационные задачи - student2.ru линейно независимыми или не являются?

15. Найти угол между векторами экзаменационные задачи - student2.ru и экзаменационные задачи - student2.ru , если

экзаменационные задачи - student2.ru .

16. Найти матрицу Грамма системы векторов экзаменационные задачи - student2.ru , если

экзаменационные задачи - student2.ru .

17. Найти матрицу Грамма системы векторов экзаменационные задачи - student2.ru , если

экзаменационные задачи - student2.ru .

18. Ортогонализовать следующие системы векторов, которые заданы своими координатами в стандартном ортонормированном базисе:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ;

б) экзаменационные задачи - student2.ru ;

в) экзаменационные задачи - student2.ru .

19. В пространстве полиномов степени не выше 2, введено скалярное произведение: экзаменационные задачи - student2.ru . В этом пространстве ортогонализовать систему векторов экзаменационные задачи - student2.ru .

20. Ортогонализовать векторы экзаменационные задачи - student2.ru , если экзаменационные задачи - student2.ru .

21. Проверив, что билинейная форма экзаменационные задачи - student2.ru определяет скалярное произведение, в этом скалярном произведении ортогонализовать системы векторов:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ;

б) экзаменационные задачи - student2.ru .

22. Ортогонализовать следующие системы векторов с указанными скалярными произведениями:

а) экзаменационные задачи - student2.ru , экзаменационные задачи - student2.ru ;

б) экзаменационные задачи - student2.ru , экзаменационные задачи - student2.ru ;

в) экзаменационные задачи - student2.ru , экзаменационные задачи - student2.ru ;

г) экзаменационные задачи - student2.ru , экзаменационные задачи - student2.ru .

23. Дополнить следующие системы векторов до ортонормированного базиса:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ;

б) экзаменационные задачи - student2.ru ;

в) экзаменационные задачи - student2.ru .

24. Найти произведение матриц:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ; б) экзаменационные задачи - student2.ru .

25. Найти ранг матрицы:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ; б) экзаменационные задачи - student2.ru ; в) экзаменационные задачи - student2.ru .

26. Найти ранг и базисный минор матрицы:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ; б) экзаменационные задачи - student2.ru .

27. Найти матрицу, обратную к заданной матрице:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ; б) экзаменационные задачи - student2.ru ; в) экзаменационные задачи - student2.ru .

28. Вычислить экзаменационные задачи - student2.ru , если:

а ) экзаменационные задачи - student2.ru , б) экзаменационные задачи - student2.ru , в) экзаменационные задачи - student2.ru

экзаменационные задачи - student2.ru ; экзаменационные задачи - student2.ru ; экзаменационные задачи - student2.ru .

29. Решить матричные уравнения:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ; б) экзаменационные задачи - student2.ru ;

в) экзаменационные задачи - student2.ru ; г) экзаменационные задачи - student2.ru .

30. Сколько миноров k -го порядка содержат определитель порядка экзаменационные задачи - student2.ru ?k2? k-1?

31. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определители:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ; б) экзаменационные задачи - student2.ru ; в) экзаменационные задачи - student2.ru .

32. Вычислить определители

а) экзаменационные задачи - student2.ru ; б) экзаменационные задачи - student2.ru ; в) экзаменационные задачи - student2.ru .

33. Решить уравнения:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ; б) экзаменационные задачи - student2.ru .

34. Найти общее решение следующих однородных систем линейных уравнений:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ; б) экзаменационные задачи - student2.ru ; в) экзаменационные задачи - student2.ru ;

г) экзаменационные задачи - student2.ru ; д) экзаменационные задачи - student2.ru .

35. Решить систему по правилу Крамера: экзаменационные задачи - student2.ru .

36. Решить следующие системы неоднородных уравнений:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ; б) экзаменационные задачи - student2.ru ;

в) экзаменационные задачи - student2.ru .

37. Подобрать экзаменационные задачи - student2.ru так чтобы система уравнений имела решения:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ; б) экзаменационные задачи - student2.ru .

38. Будет ли линейным оператором в пространстве всех многочленов экзаменационные задачи - student2.ru оператор дифференцирования экзаменационные задачи - student2.ru ?

39. Доказать, что оператор экзаменационные задачи - student2.ru в трехмерном пространстве, где экзаменационные задачи - student2.ru - постоянный вектор, является линейным оператором.

40. Найти матрицу оператора экзаменационные задачи - student2.ru в указанном базисе пространства полиномов степени не выше экзаменационные задачи - student2.ru :

а) экзаменационные задачи - student2.ru ; б) экзаменационные задачи - student2.ru .

41. Найти матрицу оператора экзаменационные задачи - student2.ru в базисе экзаменационные задачи - student2.ru .

42. Найти матрицу оператора экзаменационные задачи - student2.ru в базисе экзаменационные задачи - student2.ru .

43. Доказать, что оператор экзаменационные задачи - student2.ru является линейным и отображает пространство экзаменационные задачи - student2.ru (функций, интегрируемых на экзаменационные задачи - student2.ru ) на пространство многочленов первой степени от экзаменационные задачи - student2.ru и экзаменационные задачи - student2.ru . Найти матрицу этого оператора в подпространстве, базисом которого является система векторов экзаменационные задачи - student2.ru .

44. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного своей матрицей:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ; б) экзаменационные задачи - student2.ru ; в) экзаменационные задачи - student2.ru ; г) экзаменационные задачи - student2.ru ;

д) экзаменационные задачи - student2.ru ; е) экзаменационные задачи - student2.ru ; ж) экзаменационные задачи - student2.ru .

45. Дана матрица экзаменационные задачи - student2.ru и полином экзаменационные задачи - student2.ru . Найти собственные числа и собственные векторы оператора экзаменационные задачи - student2.ru .

46. Найти матрицу билинейной формы экзаменационные задачи - student2.ru в базисе

экзаменационные задачи - student2.ru .

47. Найти матрицу билинейной формы экзаменационные задачи - student2.ru в базисе

e1(1,-1,1), e2(1,1,-1), e3(1,-1,-1).

48. Найти матрицу билинейной формы экзаменационные задачи - student2.ru в базисе

e1(1,-1,1), e2(1,1,-1), e3(1,-1,-1).

49. Найти матрицу билинейной формы экзаменационные задачи - student2.ru в базисе экзаменационные задачи - student2.ru .

50. Определить число положительных и отрицательных канонических коэффициентов для квадратичной формы: экзаменационные задачи - student2.ru .

51. Найти все значения параметра экзаменационные задачи - student2.ru , при которых следующие квадратичные формы являются полож\

ительно определенными:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ;

б) экзаменационные задачи - student2.ru ;

в) экзаменационные задачи - student2.ru ;

г) экзаменационные задачи - student2.ru .

52. Привести следующие квадратичные формы к каноническому виду:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ;

б) экзаменационные задачи - student2.ru ;

в) экзаменационные задачи - student2.ru ;

г) экзаменационные задачи - student2.ru ;

д) экзаменационные задачи - student2.ru ;

е) экзаменационные задачи - student2.ru ;

ж) экзаменационные задачи - student2.ru ;

з) экзаменационные задачи - student2.ru ;

и) экзаменационные задачи - student2.ru .

53. Найти ортогональную проекцию экзаменационные задачи - student2.ru и ортогональную составляющую экзаменационные задачи - student2.ru вектора экзаменационные задачи - student2.ru на подпространство, порожденное системой векторов экзаменационные задачи - student2.ru :

а) экзаменационные задачи - student2.ru ;

б) экзаменационные задачи - student2.ru ;

в) экзаменационные задачи - student2.ru .

54. Найти ортогональную проекцию экзаменационные задачи - student2.ru и ортогональную составляющую экзаменационные задачи - student2.ru век­­тора экзаменационные задачи - student2.ru на подпространство экзаменационные задачи - student2.ru , определяемое системой уравнений экзаменационные задачи - student2.ru .

55. Найти проекцию вектора экзаменационные задачи - student2.ru на подпространство с базисом экзаменационные задачи - student2.ru , если скалярное произведение имеет вид: экзаменационные задачи - student2.ru .

56. Найти проекцию вектора экзаменационные задачи - student2.ru на подпространство с базисом экзаменационные задачи - student2.ru , если скалярное произведение имеет вид: экзаменационные задачи - student2.ru .

57. Найти угол между вектором экзаменационные задачи - student2.ru и линейной оболочкой L экзаменационные задачи - student2.ru :

а) экзаменационные задачи - student2.ru ;

б) экзаменационные задачи - student2.ru .

58. Найти угол между вектором экзаменационные задачи - student2.ru и линейным подпространством, натянутым на векторы экзаменационные задачи - student2.ru :

а) экзаменационные задачи - student2.ru ;

б) экзаменационные задачи - student2.ru ;

в) экзаменационные задачи - student2.ru ;

г) экзаменационные задачи - student2.ru .

59. Найти расстояние между вектором экзаменационные задачи - student2.ru и линейной оболочкой векторов экзаменационные задачи - student2.ru .

60. Найти расстояние между вектором экзаменационные задачи - student2.ru и линейным подпространством, решений системы: экзаменационные задачи - student2.ru .

61. Найти расстояние от вектора экзаменационные задачи - student2.ru до гиперплоскости, заданной системой уравнений: экзаменационные задачи - student2.ru .

62. Составить формулы преобразования координат при переходе от базиса экзаменационные задачи - student2.ru к базису экзаменационные задачи - student2.ru .

63. В стандартном базисе найти матрицу оператора, переводящего векторы экзаменационные задачи - student2.ru в векторы экзаменационные задачи - student2.ru соответственно:

а) экзаменационные задачи - student2.ru ;

б) экзаменационные задачи - student2.ru .

64. Найти матрицу перехода от базиса экзаменационные задачи - student2.ru к базису экзаменационные задачи - student2.ru пространства многочленов степени не выше экзаменационные задачи - student2.ru .

65. Каковы будут координаты векторов экзаменационные задачи - student2.ru и экзаменационные задачи - student2.ru , если векторы нового базиса выражаются через векторы старого базиса по формулам: экзаменационные задачи - student2.ru .

66. Линейный оператор в стандартном базисе задан матрицей экзаменационные задачи - student2.ru . 67. Найти матрицу указанного линейного оператора в базисе экзаменационные задачи - student2.ru экзаменационные задачи - student2.ru экзаменационные задачи - student2.ru .

68. Найти матрицу билинейной формы экзаменационные задачи - student2.ru , заданной в стандартном базисе, в новом базисе экзаменационные задачи - student2.ru :

а) экзаменационные задачи - student2.ru ,

экзаменационные задачи - student2.ru ;

б) экзаменационные задачи - student2.ru ,

экзаменационные задачи - student2.ru ;

в) экзаменационные задачи - student2.ru ,

экзаменационные задачи - student2.ru .

Наши рекомендации