Простейшие задачи аналитической геометрии
Расстояние между двумя точками- dA-B , заданными своими координатами A(xA ,yA ,zA) и B(xB ,yB ,zB ) определяетсяпо формуле
(2.1)
Формулы деления отрезка в данном отношенииимеют вид
, , , (2.2)
Рис. 13
где А и В концы отрезка, - точка, делящая отрезок АВ в отношении (см. рис. 13).
Аналитическая геометрия на плоскости
Пусть дано уравнение
. (2.3)
Уравнение (2.3) называется уравнением линииL относительно заданной системы координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат линии L.
Это значит, что координаты каждой точки линии L удовлетворяют уравнению линии L и обратно, любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (2.3), принадлежит линии L. Символически это записывается так: M(x,y)Î L Û F(x,y)=0.
Прямая линия
Существуют различные виды уравнений прямой линии на плоскости, каждое из которых лучше используется при решении той или иной конкретной задачи в зависимости от задания тех или иных параметров прямой линии.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направленииимеет вид
, (2.4)
где (2.4) уравнение рассматриваемой прямой (рис. 14), точка , - угловой коэффициент, - угол между прямой и
осью OX – угол на который нужно повернуть ось до совмещения с прямой против хода часовой стрелки.
Рис. 14
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y=kx+b, (2.5)
где, как и ранее, - угловой коэффициент; - отрезок, отсекаемый прямой
Рис. 15
L (рис.15) на оси OY (положительное или отрицательное число).
Общее уравнение прямойимеет вид
. (2.6)
Здесь . Доказывается, что в плоской декартовой прямоугольной системе координат всякая прямая определяется уравнением первой степени относительно текущих координат и каждое уравнение первой степени относительно текущих координат определяет прямую. Линии, определяемые уравнениями первой степени в декартовых координатах, будем называть линиями первого порядка. И, следовательно, каждая прямая – линия первого порядка; всякая линия первого порядка - прямая.
Уравнение прямой, проходящей через две заданных точки:
, (2.7)
где M1 (x1,y1) и M2 (x2,y2) – точки принадлежащие рассматриваемой прямой L .
Уравнение прямой в отрезках:
,(2.8)
где a и b – соответственно отрезки, отсекаемые прямой L на координат-
Рис. 16
ных осях OX и OY (рис. 16).
Нормальное уравнение прямой.
Пусть расстояние от начала координат до искомой прямой L - OK = p (рис. 17) и угол между перпендикуляром (нормалью) опущенным из начала координат на прямую L и осью OX равен a , тогда
(2.9)
Рис. 17
Уравнение (2.9) называется нормальным уравнением прямой, т.к. оно определяется нормалью OK, идущей из начала координат на линию L. Необ-
ходимо отметить следующие свойства нормального уравнения прямой:
1. Поскольку , то (-p) 0;
2. , т.е. сумма квадратов коэффициентов нормального уравнения прямой равна единице.
Таким образом, если в уравнении первой степени относительно x и y наблюдается выполнение отмеченных свойств, то такое уравнение - нормальное уравнение прямой.
В некоторых случаях есть необходимость перейти от общего уравнения прямой L - Ax+By+C=0 к нормальному виду этого уравнения. Для этого необходимо помножить обе части этого уравнения на нормирующий множитель , где и знак или "+", или “-“ выбирается противоположным знаку свободного члена C в общем уравнении прямой. В этом случае уравнение - нормальное уравнение прямой L , поскольку и