Простейшие задачи аналитической геометрии

Расстояние между двумя точками- dA-B , заданными своими координатами A(xA ,yA ,zA) и B(xB ,yB ,zB ) определяетсяпо формуле

Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru (2.1)

Формулы деления отрезка в данном отношенииимеют вид

 
  Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru

Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru , Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru , Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru , (2.2)

Рис. 13

где А и В концы отрезка, Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru - точка, делящая отрезок АВ в отношении Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru (см. рис. 13).

Аналитическая геометрия на плоскости

Пусть дано уравнение

Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru . (2.3)

Уравнение (2.3) называется уравнением линииL относительно заданной системы координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат линии L.

Это значит, что координаты каждой точки линии L удовлетворяют уравнению линии L и обратно, любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (2.3), принадлежит линии L. Символически это записывается так: M(x,y)Î L Û F(x,y)=0.

Прямая линия

Существуют различные виды уравнений прямой линии на плоскости, каждое из которых лучше используется при решении той или иной конкретной задачи в зависимости от задания тех или иных параметров прямой линии.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направленииимеет вид

Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru , (2.4)

где (2.4) уравнение рассматриваемой прямой Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru (рис. 14), точка Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru , Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru - угловой коэффициент, Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru - угол между прямой Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru и

осью OX – угол на который нужно повернуть ось до совмещения с прямой против хода часовой стрелки.

 
  Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru

Рис. 14

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y=kx+b, (2.5)

 
  Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru

где, как и ранее, Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru - угловой коэффициент; Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru - отрезок, отсекаемый прямой

Рис. 15

L (рис.15) на оси OY (положительное или отрицательное число).

Общее уравнение прямойимеет вид

Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru . (2.6)

Здесь Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru . Доказывается, что в плоской декартовой прямоугольной системе координат всякая прямая определяется уравнением первой степени относительно текущих координат и каждое уравнение первой степени относительно текущих координат определяет прямую. Линии, определяемые уравнениями первой степени в декартовых координатах, будем называть линиями первого порядка. И, следовательно, каждая прямая – линия первого порядка; всякая линия первого порядка - прямая.

Уравнение прямой, проходящей через две заданных точки:

Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru , (2.7)

где M1 (x1,y1) и M2 (x2,y2) – точки принадлежащие рассматриваемой прямой L .

Уравнение прямой в отрезках:

Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru ,(2.8)

 
  Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru

где a и b – соответственно отрезки, отсекаемые прямой L на координат-

Рис. 16

ных осях OX и OY (рис. 16).

Нормальное уравнение прямой.

Пусть расстояние от начала координат до искомой прямой L - OK = p (рис. 17) и угол между перпендикуляром (нормалью) опущенным из начала координат на прямую L и осью OX равен a , тогда

 
  Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru

Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru (2.9)

Рис. 17

Уравнение (2.9) называется нормальным уравнением прямой, т.к. оно определяется нормалью OK, идущей из начала координат на линию L. Необ-

ходимо отметить следующие свойства нормального уравнения прямой:

1. Поскольку Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru , то (-p) Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru 0;

2. Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru , т.е. сумма квадратов коэффициентов нормального уравнения прямой равна единице.

Таким образом, если в уравнении первой степени относительно x и y наблюдается выполнение отмеченных свойств, то такое уравнение - нормальное уравнение прямой.

В некоторых случаях есть необходимость перейти от общего уравнения прямой L - Ax+By+C=0 к нормальному виду этого уравнения. Для этого необходимо помножить обе части этого уравнения на нормирующий множитель Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru , где Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru и знак или "+", или “-“ выбирается противоположным знаку свободного члена C в общем уравнении прямой. В этом случае уравнение Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru - нормальное уравнение прямой L , поскольку Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru и Простейшие задачи аналитической геометрии - student2.ru

Наши рекомендации