Доказательство этой теоремы выходит за пределы курса

Лекция 2

12. Линейные подпространства.

Определение 12.1. Подмножество линейного пространства L называется линейным подпространством, если

, .

Справедливость аксиом линейного пространства для L прямо вытекает из их справедливости в L. Таким образом, каждое линейное подпространство само является линейным пространством.

Пусть дано некоторое множество P векторов в линейном пространстве L. Совокупность всевозможных линейных комбинаций, каждая из которых составлена из конечного числа векторов, принадлежащих P, называется линейной оболочкой множества P. Покажем, что линейная оболочка L множества P является линейным подпространством.

В самом деле, если , то , , где все и принадлежат P. Тогда , т.е. сумма векторов и произведение вектора на число снова являются линейными комбинациями конечного числа векторов из P.

Приведем еще два примера линейных подпространств.

1. Сумма двух геометрических векторов в одной плоскости и произведение вектора на число лежат в той же плоскости. Следовательно, множество всех геометрических векторов в плоскости есть линейное подпространство множества всех геометрических векторов в пространстве.

2. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений с n неизвестными. Каждое решение такой системы есть элемент пространства . Так как сумма двух решений однородной системы и произведение решения на число являются решениями той же системы, то совокупность всех решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными есть линейное подпространство пространства .

13. Евклидово пространство.

Понятия длины вектора и угла между ними в линейном пространстве введем с помощью скалярного произведения, которое определим аксиоматически.

Определение 13.1. Числовая функция вида L×L→R, сопоставляющая каждой паре векторов некоторое вещественное число, обозначаемое , называется скалярным произведением векторов и , если выполнены следующие четыре условия (аксиомы):

1) ; 2) ;

3) ; 4) ,

причем тогда и только тогда, когда .

Определение 13.2. Конечномерное линейное пространство с заданным скалярным произведением называется евклидовым и обозначается E.

Приведем примеры евклидовых пространств.

1) В пространстве скалярное произведение векторов и

зададим формулой . Нетрудно проверить, что так определенное скалярное произведение удовлетворяет всем перечисленным выше четырем аксиомам. Следовательно, пространство превращается в n-мерное евклидово, которое называется n-мерным координатным евклидовым пространством и обозначается .

2) В линейном пространстве геометрических векторов на плоскости или в пространстве скалярное произведение задается формулой

.

В разделе «Векторная алгебра» показывается, что так определенное скалярное произведение удовлетворяет всем четырем аксиомам скалярного произведения.

Определение 13.3. Длиной вектора в евклидовом пространстве называется число , определяемое формулой

. (13.1)

Углом между двумя ненулевыми векторами и называется число , удовлетворяющее условию

. (13.2)

В силу четвертой аксиомы длина вектора есть вещественное неотрицательное число, равное нулю тогда и только тогда, когда вектор нулевой. Определение (13.2) будет корректным лишь в том случае, когда или

. (13.3)

Неравенство (13.3) носит название неравенства Буняковского. Докажем его справедливость. При любых и любых в силу аксиом скалярного произведения имеем:

,

так как то

. (13.4)

Полагая в (13.4) , получим .

Отсюда при вытекает доказываемое неравенство. В случае обе части неравенства (13.3) равны нулю.

Определение 13.4. Векторы и в евклидовом пространстве называются ортогональными, если .

Нулевой вектор по определению считается ортогональным любому вектору. Заметим, что ортогональность геометрических векторов означает их перпендикулярность.

Определение 13.5. Система векторов в евклидовом пространстве называется ортонормированной, если

. (13.5)

Теорема 13.1. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Доказательство. Пусть - ортонормированная система векторов. Рассмотрим равенство . Обе части этого равенства умножим скалярно на , . В силу (13.5) все слагаемые кроме i-го обратятся в нуль и мы получим .

Таким образом, каждая равная нулю линейная комбинация векторов - тривиальная, т.е. система векторов линейно независима.

Определение 13.6. Ортонормированным базисом в n-мерном евклидовом пространстве называется любая ортонормированная система n векторов.

Пусть в n-мерном евклидовом пространстве задан ортонормированный базис и пусть . Тогда в силу аксиом скалярного произведения . Отсюда на основании (13.5)

, (13.6)

т.е. в ортонормированном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме по парных произведений их соответствующих координат. Из (13.6) непосредственно следует

,

т.е. в ортонормированном базисе длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Пусть в n-мерном евклидовом пространстве задана линейно независимая система n векторов . Построим n векторов по формулам: , , где , , где , …, где .

Доказывается, что система векторов ортонормированная. Указанный метод построения ортонормированной системы векторов по заданной линейно независимой системе векторов называется ортогонализацией этой системы.

Рассмотрим в n-мерном евклидовом пространстве два ортонормированных базиса и . Пусть - матрица перехода от базиса к базису . Согласно (11.7)

, . Отсюда в силу (13.5)

или опять же в силу (13.5)

. (13.7)

В матричных обозначениях равенства (13.7) переписывается в виде

, (13.8)

где - транспонированная матрица С, а J - единичная матрица. По определению обратной матрицы равенство (13.8) равносильно

.

Определение 13.7. Матрица С, удовлетворяющая условию (13.8), называется ортогональной.

Простейшим примером ортогональной матрицы является .

Итак, ортогональные матрицы и только они могут служить матрицами перехода от одного ортонормированного базиса к другому.

14. Линейные преобразования.

Рассмотрим линейное пространство L и преобразование Ā в этом пространстве, сопоставляющее каждому вектору из L некоторый вектор из того же пространства. Образ вектора при преобразовании Ā будем обозначать .

Определение 14.1. Преобразование Ā линейного пространства L называется линейным, если для любых векторов и любого числа

выполняются условия

, . (14.1)

Нетрудно проверить, что при линейном преобразовании линейная комбинация векторов переходит в линейную комбинацию их образов с теми же коэффициентами. Преобразование вида является линейным. Оно называется тождественным и обозначается .

Приведем еще один пример линейного преобразования. Производная от многочлена есть многочлен меньший степени. Поэтому дифференцирование является преобразованием в линейном пространстве многочленов степени не выше заданного числа n. Это преобразование линейное, так как производная суммы равна сумме производных и постоянный множитель выносится за знак производной.

Выберем в n-мерном линейном пространстве базис . Каждый вектор может быть разложен по этому базису, т.е. представлен в виде , где - координатный столбец вектора в базис . По свойству (14.1) линейного преобразования

. (14.2)

Разлагая каждый из векторов по базису , получим

. (14.3)

Подстановка (14.3) в (14.2) даст

Отсюда по определению координат

, (14.4)

где - координатный столбец вектора в базисе . Обозначим

. (14.5)

В матричной форме равенства (14.4) запишутся в виде

. (14.6)

Матрица А называется матрицей линейного преобразования в базисе . Столбцы матрицы А есть координатные столбцы образов векторов при преобразовании . Итак, в заданном базисе линейное преобразование определяется своей матрицей (14.5). Само линейное преобразование задается формулами (14.4). В случае тождественного преобразования для каждого вектора , имеем . Поэтому тождественное преобразование в каждом базисе определяется единичной матрицей J.

Результат последовательного выполнения двух линейных преобразований и называется их произведением и обозначается . Пусть в некотором базисе линейные преобразования и имеют соответственно матрицы А и В.

Теорема 14.1. Произведение имеет матрицу . Для доказательства обозначим через Х, У, Z соответственно координатные столбцы векторов , . Тогда по формуле (14.6) , или , или по свойству произведения матриц , т.е. произведение определяется матрицей .

Определение 14.2. Линейное преобразование в евклидовом пространстве E называется ортогональным, если для любых .

Таким образом, ортогональное преобразование сохраняет скалярное произведение, а, следовательно, длины векторов и углы между ними. Можно показать, что в любом ортонормированном базисе ортогональное преобразование имеет ортогональную матрицу. Примером ортогонального преобразования в является

,

.

15. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.

Определение 15.1. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования , если существует такое число , что

. (15.1)

При этом число называется собственным значением линейного преобразования .

Зададим в пространстве какой-либо базис . Пусть в этом базисе линейное преобразование имеет матрицу

, (15.2)

а вектор - координатный столбец . В силу (14.4) равенство (15.1) равносильно соотношениям , или в развернутом виде

. (15.3)

Таким образом, координаты собственного вектора являются ненулевым решением однородной системы линейных уравнений (15.3). Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы (15.3) равен нулю, т.е.

. (15.4)

Доказывается, что уравнение (15.4) не зависит от выбора базиса. Оно называется характеристическим уравнением линейного преобразования .

Раскрыв определитель в левой части (15.4), получим уравнение n-ой степени относительно . Оно имеет ровно n корней. Собственные значения линейного преобразования совпадают с корнями уравнения (15.4). Каждому собственному значению соответствует бесконечное множество собственных векторов. Все они находятся из системы (15.3).

Матрица вида , где - некоторые числа, называется диагональной.

Теорема 15.1. Матрица линейного преобразования в базисе имеет диагональный вид с собственными значениями на главной диагонали тогда и только тогда, когда все векторы базиса есть собственные вектора преобразования .

Доказательство. i-ый столбец матрицы линейного преобразования есть координатный столбец вектора . В этом столбце i-ый элемент равен , а остальные элементы равны нулю тогда и только тогда, когда ? т.е. вектор - собственный для линейного преобразования .

Определение 15.2. Линейное преобразование евклидова пространства E называется симметрическим, если для любых векторов выполняется условие.

. (15.5)

Зададим в n-мерном евклидовом пространстве ортонормированный базис. Пусть в этом базисе линейное преобразование имеет матрицу (15.2), а векторы и - координатные столбцы и соответственно. В силу (14.4) координатными столбцами векторов и будут

и

соответственно. Отсюда по формуле (13.6)

, . (15.6)

Подстановка выражений (15.6) в условие (15.5) дает

.

В силу произвольности и отсюда следует

, . (15.7)

Условие (15.7) равносильно

. (15.8)

Определение 15.2. Матрица , удовлетворяющая условию (15.8), называется симметрической.

Таким образом, доказано, что матрица симметрического преобразования в любом ортонормированном базисе является симметрической.

Собственные значения и собственные векторы симметрического преобразования обладают рядом важных и интересных свойств, к изложению которых мы и перейдем.

Теорема 15.2. Все собственные значения симметрического преобразования вещественные.

Доказательство этой теоремы выходит за пределы курса.

Теорема 15.3. Собственные векторы симметрического преобразования , соответствующие разным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть и , . Тогда

, . (15.9)

Из (15.5) в силу (15.9) следует , отсюда , что и требовалось доказать.

Доказывается, что в n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов симметрического преобразования . Для нахождения указанного базиса следует вычислить собственные значения преобразования А и для каждого значения найти соответствующий собственный вектор. В случае простого корня характеристического уравнения собственный вектор остается только нормировать, т.е. разделить на его длину. Для корня кратности r надо найти r линейно независимых собственных вектора, соответствующих фундаментальной системе из r решений однородной системы линейных уравнений (15.3). Эти векторы следует ортогонализировать и нормировать.

16. Квадратичные формы.

Рассмотрим в линейном пространстве L числовую функцию , сопоставляющую каждому вектору некоторое вещественное число . Числовая функция называется линейной формой, если для любых и любого выполняются следующие условия

, .

Далее, рассмотрим числовую функцию , сопоставляющую каждой паре векторов некоторое действительное число . Числовая функция называется билинейной формой, если при фиксированном она является линейной формой по , а при фиксированном - линейной формой по . Билинейная форма называется симметрической, если при любых . Простейшим примером билинейной формы является скалярное произведение векторов.

Пусть - симметрическая билинейная форма в линейном пространстве L.

Определение 16.1. Числовая функция , полученная из при , называется квадратичной формой в пространстве L.

Пусть в пространстве задан базис и пусть , . В силу свойств билинейной формы

или

, (16.1)

где . При этом в силу симметричности билинейной формы

. (16.2)

Полагая в (16.1) получим следующее представление квадратичной формы в базисе :

. (16.3)

Матрица

(16.4)

называется матрицей квадратичной формы в заданном базисе . Согласно (16.2) матрица (16.4) является симметрической. Итак, в заданном базисе каждой квадратичной форме соответствует симметрическая матрица (16.4) и, обратно, каждой симметрической матрице (16.4) соответствует квадратичная форма , представление которой в заданном базисе имеет вид (16.3).

Определение 16.2. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если для всех , и знакопеременной, если существуют такие , что , .

Ниже будет указан критерий, то которому можно судить о принадлежности квадратичной формы к одному из указанных типов

Определители

…………

называются угловыми минорами матрицы (16.4).

Теорема 16.1. (Критерий Сильвестра) Для того чтобы, квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны (знаки угловых миноров чередовались, причем ).

Пусть в некотором базисе квадратичная форма имеет вид

. (16.5)

Выражение (16.5) называется каноническим видом квадратичной формы. Далее, будем рассматривать квадратичные формы в евклидовом пространстве. Линейное преобразование , матрица которого в любом ортонормированном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы , называется присоединенным к .

В силу симметрическости матрицы присоединенное к преобразование будет симметрическим. Согласно результатам §15 в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов преобразования , в котором матрица этого преобразования имеет диагональный вид с собственными значениями на главной диагонали. Если , то в базисе квадратичная форма приводится к сумме квадратов (16.5). При этом в силу (11.9) соответствующее преобразование координат определяется формулой

, (16.6)

где столбцами матрицы С являются координатные столбцы векторов в исходном базисе . Так как переход от одного ортонормированного базиса к другому осуществляется с помощью ортогональной матрицы, то преобразование (16.6) в пространстве - ортогональное.

Пример. Квадратичную форму в евклидовом пространстве привести к каноническому виду.

Решение. Матрица квадратичной формы есть

.

Составляем характеристическое уравнение

.

Его корни , . Соответствующие и собственные векторы, присоединенные к линейного преобразования , находятся из уравнений и соответственно. Это векторы и , где - любые числа. После нормировки, т.е. деления этих векторов на их длины, получаем ортонормированный базис из векторов , . В этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид . Соответствующее преобразование координат есть или , .