Определение прямой в начертательной геометрии

Лекция 1

Точка, прямая. Плоскость на эпюре Монжа

1. Виды проецирования. Инварианты параллельного проецирования.

2. Эпюр Гаспара Монжа.

3. Определение прямой в начертательной геометрии.

4. Способ прямоугольного треугольника для определения натуральной величины отрезка и углов наклона прямой к плоскостям проекций.

5. Прямые общего положения и частного положения.

6. Взаимное положение двух прямых.

1. Виды проецирования. Инварианты параллельного проецирования.

Существует два метода проецирования – центральное и параллельное. Наиболее общее – центральное проецирование. Параллельное проецирование– это частный случай центрального проецирования.

Рис.1

Основные свойства параллельного проецирования:

- проекция точки - точка,

- проекция прямой – прямая.

- если точка принадлежит проекции прямой, то и проекция ее принадлежит проекции этой прямой,

- проекции параллельных прямых параллельны,

- отношение отрезков прямой равно отношению их проекций.

Эпюр Гаспара Монжа.

Для построения проекции точки, зададим плоскость П₁ – плоскость проекций и точку А – оригинал (любая точка пространства). Проведем через точку А проецирующий луч (АА¹) до пересечения с плоскостью П₁ в точке А¹. Точка А¹ и является проекцией точки А на плоскость П₁ (рисунок 1.2). Если проецирующий луч АА¹ перпендикулярен плоскости проекций П₁, то проецирование называется прямоугольным, а точка А¹ называется прямоугольной или ортогональной проекцией точки А.

На рисунке 1.2 видно, что одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве, так как в точку А¹ проецируются все точки проецирующего луча АА¹. Для того чтобы положение точки в пространстве было определено, возьмем три взаимно перпендикулярные плоскости П₁ , П₂ , П₃ (рисунок 1.3).

П₁ – горизонтальная плоскость проекции;

Рисунок 1.3

П₂ – фронтальная плоскость проекций;

П₃ – профильная плоскость проекций.

Плоскости проекций пересекаясь, дают оси проекций – x₁₂; y₁₃; z₂₃.

Спроецируем ортогонально точку А на эти плоскости проекций. Получим соответственно:

А₁ - горизонтальная проекция точки А;

А₂ - фронтальная проекция точки А;

А₃ – профильная проекция точки А.

В трехмерном пространстве точка определяется тремя (декартовыми) координатами А (x_А; y_А; z_А). Совместив декартовую систему координат с осями проекций, получим начало координат – точку О. Ось ОХ совместим с осью x₁₂, ось ОY – с осью y₁₃, ось ОZ – с осью z₂₃. Горизонтальная плоскость проекции П₁ совместится с координатной плоскостью OXY, П₂ º XOZ, П₃ º YOZ. Тогда точка А и ее проекции определяться координатами:

А (x_А; y_А; z_А) Û А₁ (x_А; y_А); А₂ (x_А; z_А); А₃ (y_А; z_А);

По чертежу видно, что две проекции точки полностью определяют положение точки в пространстве, так как содержат все три координаты.

Для перехода от пространственного чертежа к плоскому, плоскость П₁ повернем вокруг оси х₁₂ до совмещения с плоскостью П₂. При этом звенья ломаной А_ХА₁ и А_ХА₂ образуют прямую А₁А₂ перпендикулярную оси x₁₂. Линия А₁А₂ называется линией проекционной связи А₁ и А₂.

Плоский чертеж состоящий из горизонтальной А₁ и фронтальной А₂ проекций точки А, расположенных на линии связи А₁А₂ перпендикулярной оси x₁₂ называется эпюром (ортогональным чертежом) и носит имя основателя начертательной геометрии Г.Монжа (рисунок 1.4).

Иногда возникает необходимость по двум проекциям построить третью. На рисунке 1.5 показано построение профильной проекции А₃ по двум заданным горизонтальной А₁ и фронтальной А₂ с помощью постоянной линии чертежа k₁₂₃.

Плоскости П₁ и П₂ делят все пространство на четыре четверти, отмеченные на рисунке 1.6 римскими цифрами I, II, III и IV.

Рисунок 1.5

Точки могут находиться в любой четверти, лежать на плоскостях проекций или на осях.

Рисунок 1.6

Определение прямой в начертательной геометрии.

Положение прямой линии в пространстве определяется двумя ее точками. А из свойств параллельного проецирования известно, что проекции прямых являются прямыми линиями. Поэтому, для построения прямой (m) достаточно построить проекции двух её точек (А и В) и одноименные проекции точек соединить прямыми (рисунок 1.7). Отсюда можно сделать вывод если точка лежит на прямой, то ее проекции лежат на соответствующих проекциях прямой. Если эта точка делит отрезок АВ в каком либо отношении, то в том же отношении проекции точки делят проекции отрезка.