Деление отрезка в отношении

Определение. Пусть A и B две различные точки в Eⁿ.

Будем говорить, что точка C делит отрезок AB в отношении l (l Î R), если:

1) Точка C лежит на прямой AB;

2) |AC| = |l| |AB|;

3) l ³ 0, если точка C лежит на луче [AB), и

l < 0, если точка C не лежит на луче [AB).

Пример.

РИС 15 (1,2,3,4)

1) Пусть точка C - середина отрезка AB. Тогда С делит отрезок AB в отношении .

2) Если точка C совпадает с точкой A, то она делит отрезок AB в отношении 0.

3) Если точка C совпадает с точкой B, то она делит отрезок AB в отношении 1.

4) Если точка C такова, что точка A - это середина отрезка CB, то она делит отрезок AB в отношении (-1).

Замечания.

(1)В данном определении порядок точек A и B важен. Если точка C делит отрезок AB в отношении l, то она делит отрезок BA в отношении (1-l) ( докажите).

(2) Точка C лежит на отрезке [AB] тогда, и только тогда, когда точка C делит отрезок [AB] в отношении l и 0 £ l £ 1.

Лемма.

1) Для любых двух различных точек A и B, и для любой точки С на прямой AB существует такое число l, что точка C делит отрезок AB в отношении l.

2) Для любых двух различных точек A и B, и для любого числа l существует точка C на прямой AB такая, что точка C делит отрезок AB в отношении l.

Доказательство. (провести самостоятельно)

Пусть в Eⁿ введена декартова система координат.

Теорема. Точка C делит отрезок AB в отношении l тогда, и только тогда, когда справедливо следующее равенство _C = (1 - l) _A + l _B, где _A- координаты точки A, _B - координаты точки B, _C - координаты точки C.

Доказательство.

i) Докажем теорему для точек прямой (для E¹).

1) Пусть точка C делит отрезок AB в отношении l.

1 случай. x_A < x_B , то есть |AB| = x_B - x_A.

- Если точка C не лежит на луче [AB), то l < 0 , x_C < x_A и |AC| = x_A - x_C .

Так как по определению |AC| = |l| |AB|, то x_A - x_C = - l (x_B - x_A), тогда x_C = (1-l)x_A + lx_B.

- Если точка C лежит на луче [AB), то l > 0 , x_C ³ x_A и |AC| = x_C - x_A .

Так как по определению |AC| = |l| |AB|, то x_C - x_A = l (x_B - x_A), тогда x_C = (1-l)x_A + lx_B.

2 случай. x_B < x_A , то есть |AB| = x_A - x_B (аналогичен случаю 1)

2) Пусть координаты точек A,B и C таковы, что x_C = (1-l)x_A + lx_B, тогда

x_C - x_A = l (x_B - x_A).

2 случай. x_B < x_A , то есть |AB| = x_A - x_B (аналогичен случаю 1)

Возьмем точку D, которая делит отрезок AB в отношении l. Тогда, как уже доказано, ее координаты подчиняются соотношению x_D = (1-l)x_A + lx_B., то есть x_D =x_C.

Так как декартова система координат устанавливает биективное соответствие между точками прямой и множеством действительных чисел, то из равенства координат точек D и C следует, что они совпадают, то есть точка C делит отрезок AB в отношении l.

ii) Докажем теорему для точек плоскости (для E²).

1 случай. Прямая AB не параллельна ни одной из координатных осей.

Пусть точки A’,B’- проекции точек A и B на координатную ось (Ox),

точки A’’, B’’ проекции точек A и B на координатную ось (Oy).

1) Пусть точка C делит отрезок AB в отношении l, и точки C’,C’’ - проекции точки C на оси (Ox), (Oy) соответственно.

Тогда точка C’ делит отрезок A’B’ (и точка C’’ делит отрезок A’’B’’) в отношении l, поэтому по пункту (i) x_C = (1-l)x_A + lx_B и y_C = (1-l)y_A + ly_B.

2) Пусть точка C такова, что для ее координат _C справедливо равенство

_C = (1 - l) _A + l _B.

Возьмем точку D, которая делит отрезок AB в отношении l. Тогда, как уже доказано, ее координаты подчиняются соотношению _D = (1 - l) _A + l _B, то есть _D = _C.

Так как декартова система координат устанавливает биективное соответствие между точками плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел, то из равенства координат точек D и C следует, что они совпадают, то есть точка C делит отрезок AB в отношении l.

2 случай. Прямая AB параллельна одной из координатных осей.

Пусть прямая AB параллельна оси (Ox). Тогда для всех точек прямой координаты по оси (Oy) равны между собой, поэтому достаточно доказать теорему для координат точек по оси (Ox). Повторим доказательство 1-го случая, рассматривая только проекции на ось (Ox).

Если прямая AB параллельна оси (Oy), то рассуждения аналогичны.

iii) Докажем теорему для точек пространства (для E³).

Доказательство аналогично представленному в пункте (ii).

Пример.

Точка C является серединой отрезка AB тогда, и только тогда, когда _C = .

Замечание (О делении в отношении «часть к части»).

Существует и другой способ определения деления отрезка в отношении, мы его для определенности назовем «делением часть к части»:

Точка С делит отрезок AB в «отношении часть к части» m (m Î R), если:

1) Точка C лежит на прямой AB;

2) |AC| = |m| |CB|;

3) m ³ 0, если точка C лежит на отрезке [AB],

и m < 0, если точка C не лежит на отрезке [AB].

При таком определении:

m ≠ -1 и для точки B не определено «ношение часть к части» в котором она делит отрезок AB (то есть точка C не может совпадать с точкой B);

m < -1, если точки A и C лежат по разные стороны от точки B;

-1 < m < 0, если точки B и C лежат по разные стороны от точки A.

Для деления отрезка в «отношении часть к части» можно доказать следующую теорему: Точка C делит отрезок AB в «отношении часть к части» m тогда, и только тогда, когда справедливо следующее равенство _C = , где _A- координаты точки A, _B - координаты точки B, _C - координаты точки C.

Взаимосвязь двух определений деления в отношении отрезка отражена в следующей теореме: Пусть точка C делит отрезок AB в отношении l, и делит этот отрезок в «отношении часть к части» m, тогда m = и l = .

Упражнения.

1) Докажите теоремы из вышеописанного замечания.

2) Докажите, что точка является центром тяжести треугольника (точкой пересечения медиан этого треугольника) тогда, и только тогда, когда ее координаты являются средним арифметическим координат вершин этого треугольника.