АЦП и ЦАП, ошибки квантования по времени и по уровню. Компандирование аналогового сигнала.

Цель аналого-цифрового преобразования (АЦП) – заменить непрерывную функцию u(t) последовательностью М-ичных символов.

АЦП осуществляется в два этапа. Первый этап – это квантование во времени непрерывного сигнала u(t). В результате получается последовательность импульсов-отсчетов, следующих с шагом Δt.

Рассмотрим подробнее данный этап.

Квантование (дискретизация) во времени – это замена непрерывной функции u(t), заданной на интервале 0≤t≤Т, последовательностью ее мгновенных значений-отсчетов u₁=u(t₁), u₂=u(t₂), … , u_n=u(t_n). Они измеряются в моменты времени t₁, t₂, …, t_n, отстоящие один от другого на величину Δt=t_j-t_j-1=T/n, называемую шагом квантования.

Возможность точного восстановления исходной функции u(t) по серии ее отсчетов доказана в теореме отсчетов Найквиста-Котельникова: любая функция, имеющая спектр, заключенный в ограниченной полосе частот 0...F_в, полностью определяется последовательностью отсчетов, взятых с шагом

(2.2)

Другими словами, частота квантования F_к=1/Δt должна удовлетворять условию F_к ≥ 2F_в.

Первая причина появления ошибок – это вынужденное нарушение требований теоремы отсчетов, т.е. квантование с частотой F_к<2F_в.

На рис.2.4. видно, что в этом случае происходит перекрытие отдельных частей спектра сигнала v(t). Из-за этого возможно появление ошибок двух видов.

Кстати, очевидно, что здесь, в отличие от идеального случая, возможен некоторый произвол при выборе частоты среза f_c ФНЧ-демодулятора.

Ошибка первого рода – это пропадание высокочастотных составляющих сигнала, имеющих частоты f_u>f_c.

Ошибка второго рода – это трансформация составляющих спектра сигнала u(t) с частотами f_c<f_u<F_в, и в результате на выходе ФНЧ – демодулятора появляются новые составляющие с частотами f_d=F_к-f_u (вспомните, как на киноэкране ведут себя колеса экипажа, когда он набирает скорость).

Вторая причина появления ошибок – это непрямоугольность частотных характеристик фильтров, в частности ФНЧ-демодулятора (рис. 2.5). В результате, во-первых, происходят частотные искажения сигнала в области |f|<F_в, и, во-вторых, в спектре сигнала на выходе демодулятора появляются новые составляющие с частотами |f|>F_в.

Третья причина обусловлена тем, что, в соответствии с теорией преобразований Фурье, любая функция конечной длительности во времени имеет бесконечно широкий спектр и наоборот. Поэтому, даже если исходное сообщение u(t) имело

ограниченный спектр 0...F_B, но из бесконечной серии его отсчетов, взятых с шагом Δt=1/2F_В, по линии связи была передана конечная последовательность, состоящая из n отсчетов, при восстановлении отрезка сигнала u(t), даже на интервале его передачи, возникнет ошибка.

Фактически, при передаче отрезка сигнала нарушены требования теоремы отсчетов. Рис. 2.4. иллюстрирует приемы точного анализа величины ошибки. Грубо величину ошибки можно определить по формуле

(2.9)

которая для статистически стационарного сигнала при n>>1 дает вполне удовлетворительную точность.

Второй этап – это оцифровка каждого отсчета. Подготовка к этой операции заключается в следующем. Диапазон возможных значений напряжений (u_min, u_max) делится на М интервалов длиной

(2.10)

каждый. Величина Δu называется шагом квантования по уровню (рис. 2.7). Далее интервалы нумеруют М-ичными цифрами снизу вверх, начиная с цифры 0.

Для оцифровки очередной импульс-отсчет ”прикладываем” к шкале и заменяем его М-ичной цифрой N_M, равной номеру того интервала, в который попала вершина импульса. В итоге, вместо серии, состоящей из n отсчетов, передается последовательность М-ичных цифр длиной n.

Поскольку в технике наиболее часто для передачи используются двоичные символы, то значение М выбирают по формуле

(2.11)

и номер очередного интервала передается в виде k-разрядной двоичной комбинации (N₂ на рис.2.7). В итоге количество передаваемых символов-цифр увеличивается в k раз.

Обратное, т.е. цифро-аналоговое преобразование (ЦАП) также проводится в два этапа.

Первый этап – это формирование импульсов, соответствующих каждой М-ичной цифре (или k-разрядной комбинации при передаче двоичных символов). В качестве подготовки к этой операции внутри каждого из М интервалов выбирается точка. Обычно она соответствует центру интервала – это точки u₀, u₁, …, u_M-1 на рис.2.7. Тогда амплитуда очередного импульса, соответствующего цифре j, устанавливается равной u_j. Таким образом, в итоге проводится округление значения каждого отсчета.

Ошибка такого округления e=u-u_j, где u – истинное значение отсчета. Если шаг квантования Δu достаточно мал (соответственно, число интервалов М велико), величина случайной ошибки е имеет почти равномерное распределение в интервале ширины Δu, поэтому среднеквадратическое значение ошибки квантования по уровню равно

(2.12)

Второй этап ЦАП – это преобразование серии импульсов-отсчетов в непрерывную функцию – проводится как обычно (разд. 2.4) при помощи ФНЧ с прямоугольной частотной характеристикой.

Такое квантование по уровню, когда все М интервалов имеют одинаковую длину (2.10), называется равномерным и является наиболее простым в техническом отношении. При фиксированном значении М эта процедура обеспечивает минимальное значение среднеквадратической ошибки квантования лишь для таких сигналов u(t), у которых величина напряжения равномерно распределена в интервале (u_min, u_max). Реальные сигналы, такие как звуковой, характеризуются распределением вероятностей, имеющим узкий центральный пик и длинные “хвосты” (рис.2.8).

Для таких сигналов предпочтительней неравномерное квантование по уровню, когда длины интервалов берут меньшими в области наиболее вероятных значений напряжения и увеличивают их в области малых вероятностей.

Тот же эффект достигается более простыми техническими средствами. Сначала сигнал u(t) подвергают компрессии по уровню, т.е. пропускают через устройство, амплитудная характеристика которого линейна лишь в области малых значений входного напряжения, а при других значениях описывается логарифмической кривой (рис.2.9). В итоге распределение напряжения сигнала на выходе компрессора становится существенно ближе к равномерному.

После компрессии проводят стандартную процедуру АЦП с равномерным квантованием. В пункте приема, после стандартного ЦАП следует провести обратное нелинейное преобразование, хотя, как показывает практика, нередко можно обойтись и без него.

Для проведения АЦП телефонного сигнала используют стандартные значения параметров: F_к=8000 отсчетов/с, k=8 бит/отсчет, т.е. М=256. В итоге получается стандартный цифровой телефонный сигнал, который характеризуется скоростью цифрового потока на выходе АЦП, равной V=8000´8=64 кбит/с.

Серия двоичных импульсов, получаемая в результате такого преобразования телефонного сигнала, называется сигналом с импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ).

37.Европейский и американский варианты плезиохронной цифровой иерархии. ИКМ-30, структура кадра.