Прием решения арифметических задач «на процессы»

Прежде всего отметим, что ориентировочная основа дей­ствий, составляющих умение решать эти задачи, лежит вне арифметики: для того, чтобы описать математическим языком ситуацию, приведенную в условии задачи, необходимо выде­лить в этой ситуации основные элементы и их отношения.

Все эти задачи основаны на одних и тех же понятиях: ско­рость, время и результат («продукт») процесса, к которому процесс приводит или который он уничтожает.

В силу этого учащимся можно дать общий прием решения всех арифметических задач на процессы, построить его ориен­тировочную основу по третьему типу. Ориентировочная ос­нова умения решать задачи «на процессы» включает в себя понятия: скорость, время, продукт процесса.

Для успешного решения задач данного типа необходимо также понимать отношения между основными элементами ситуации: а) величина продукта прямо пропорциональна ско­рости и времени; б) время, необходимое для получения про­дукта, прямо пропорционально величине продукта и обратно пропорционально скорости и т.д. Далее важно усвоить, что по двум из этих элементов всегда можно найти третий, если речь идет об одном участнике процесса (об одной действую­щей силе). В самом деле, S = Vx Т; V = S : Т; Т = S : V. Нако­нец, если продукт создают несколько участников, то в этом случае появляется новая система отношений - отношения между частными и общими значениями по каждому парамет­ру, определяемые характером участия отдельных сил: помо­гают участники друг другу или противодействуют, одновре­менно или разновременно участвуют в процессе и т.д. В дан­ном случае общая скорость, например, может иметь следую­щее выражение: V₀ = V₁ + V₂ (если участники помогают друг другу); V₀ = V₁ – V₂ (если участники противодействуют) и т.д.

Все это входит в состав данного умения и составляет про­грамму того, чему в данном случае следует учить. Только после усвоения всех основных элементов и их отношений может быть дан общий метод анализа, позволяющий устанавливать систему отношений в условиях любой конкретной задачи данного типа.

Прежде всего у обучаемых надо сформировать систему по­нятий: время, скорость, продукт процесса. Проверка показы­вает, что обычно учащиеся не владеют ни этими понятиями, ни отношениями между ними. Так, например, у многих уча­щихся не отдифференцировано даже время как определенный временной момент (точка отсчета) и время как некоторый временной интервал. (Если, например, в задаче говорится, что поезд отправился в 10 часов утра, учащиеся считают, что время его движения равно 10 часам.)

Формирование основных понятий - время процесса, скорость процесса и продукт процесса - завершается усвоением их отношений; учащиеся учатся находить любой из трех ука­зных элементов по двум остальным. Формирование всех элементов должно осуществляться с поэтапной отработкой. На этапе материализованного действия широко используются пространственные схемы, модели. Так, например, скорость, продукт процесса изображаются в виде отрезка прямой, время - в виде отрезка, разделенного на соответствующее число частей. Учащемуся предлагается, допустим, получить продукт процесса по данной ему скорости и времени. Он получает его, откладывая отрезок, моделирующий скорость, столько раз, сколько частей содержит другой отрезок, моделирующий время. Это практическое действие учащийся без труда заканчивает математическим описанием, так как он только что получил продукт путем последовательного прибавления одной и той же величины, т.е. одно и то же брал определенное число раз. Поэтому ученик без труда записывает это как скорость, умноженную на время. Таким образом, исполнитель­ные операции ученик может определять самостоятельно. Аналогично на этом этапе проходит усвоение и всех остальных компонентов умения.

После этого испытуемых надо учить выделять элементы в ситуации, описанной словами, анализировать условия задач по данному им плану. Это уже внешнеречевой уровень усвое­ния. План анализа имеет примерно такой вид:

1. Кто действует (F)?

2. Что получается в результате его действия (S)?

3. Сколько времени происходит действие (Т)?

4. Сколько выполняет за одну единицу времени (V)?

Учащихся учат находить в условии задачи данные, содержащие ответ на каждый из пунктов предписания, подчеркивать эту часть условия определенной линией и ставить под ней (или над ней) соответствующий символ (F, V, Т, S). После этого учащиеся записывают условие задачи с помощью сим­волов, проставляя против каждого из них конкретные данные или ставя знак вопроса, если величина неизвестна.

Вот как выглядела одна из задач после анализа ее усло­вий: «Три машины израсходовали за 10 часов (Т₀) 250 л го­рючего (S₀). Известно, что за это время первая машина израсходовала 60 л (S₁,), а вторая - 110 л (S₂) Найдите, сколько расходовала третья машина за час (V₃)?»

И только после усвоения учащимися данной формы анали­за следует учить их анализировать условие задачи про себя.

Вслед за усвоением всех выделенных элементов, их отно­шений и общего метода анализа условий задачи учащимся надо дать метод составления схемы ситуации и плана реше­ния. Вначале это делается применительно к одному участнику, а затем - в условиях совместного действия, где участники процесса могут как помогать, так и мешать друг другу. Те­перь дается уже общее предписание, позволяющее проанали­зировать условие задачи, составить схему ситуации и план решения. Предписание предлагает выделить в условии задачи участников процесса, то, как они действуют (помогают или противодействуют), время участия каждого из них и т.д. В ре­зультате такого анализа появляется запись условий задачи в определенной системе символов. Запись данных:

T₀=10ч

S₀= 250 л

S₁ =60 л

S₂= 110л

V₃=?

После этого ученику предлагается выделить искомое, обозначить его соответствующим символом (V, S, Т, V₂, T₂, S₂, и т.д.) и обвести кружком из пунктирной линии (знак неиз­вестного). В вышеприведенной задаче искомым является ско­рость третьего участника процесса (V₃). Затем предлагается указать величины, с помощью которых ее можно получить. Ученик после усвоения основных элементов и их отношений знает, что она может быть получена только двумя путями: или через время (T) и продукт (S), относящиеся к третьему участ­нику, или через общую скорость и скорости отдельных участ­ников. И он изображает следующее:

Затем предписание предлагает обозначить, какие из ука­занных элементов известны, какие нет; учащийся анализирует условие задачи дальше и устанавливает, что T₃ есть, а S₃ - нет и т.д. Тогда схема приобретает такой вид (сплошная линия - знак известного).

Теперь учащийся должен установить, как можно найти V₃. Он знает, что V₃ можно найти двумя путями: через T₃ и через S₃ или через V₀ и частные V₁ и V₂. Продолжая по предписанию анализ данных задачи, ученик получает такую схему:

Из схемы видно, что путь, намеченный и справа, и слева, приводит к решению. Но путь справа короче.

На основе схемы ситуации учащиеся составляют план решения задачи и реализуют его. Исполнительные операции никакого труда для учащихся не представляют, так как они уже усвоили математическое выражение тех отношений, которые существуют между изображенными элементами ситуации.

Проверка программы показала, что при таком обучении даже самые слабые ученики третьего класса усваивают об­щий прием решения задач на процессы и успешно применя­ют его. Обучение обычно занимает 11-12 уроков, т.е. гораз­до меньше, чем обычно тратится на усвоение всех разновид­ностей задач этого типа при школьном обучении. Этот при­ем мы рассмотрели в материализованной форме; обобщение - в пределах всех видов школьных задач на процессы. Решая задачи данного класса, учащиеся постепенно перейдут на умственный этап. Читая условие задачи, они уже не будут выделять отдельные элементы знаками; постепенно не будут выписывать данные, не будут составлять и схему решения: все это они будут делать про себя, быстро, и как бы сразу видеть рациональный путь решения.

Как видим, при составлении программы для формирова­ния умения решать арифметические задачи также необходимо прежде всего выделить основные понятия, на которые опира­ются задачи и которые (в данном случае это понятие скоро­сти, времени, продукта, действующих сил) составляют специ­фику задач данного класса, затем выделить отношения между этими понятиями и на этой основе дать общий метод анализа задач данного класса. Разумеется, общий метод анализа также должен пройти поэтапную отработку. В конечном итоге он может применяться без опоры на схему.

Преимущество схематизации ситуации, данной в условии задачи, состоит в том, что текст «переводится» на язык на­глядной и в то же время абстрактной модели, где все отноше­ния ситуации выступают перед учеником одновременно. Кро­ме того, на схеме представлен и план решения: количество элементов, обведенных кружками из пунктирной линии, пока­зывает, во сколько вопросов (и действий) может быть решена задача. Направление стрелок показывает, в каком порядке при этом следует действовать.

Особенность этой схемы состоит в том, что содержание исполнительных действий на ней не представлено. Она моде­лирует лишь специфические элементы ситуации и их отноше­ния, т.е. ориентировочную основу действия. Но, как показали исследования, после специальной отработки основных эле­ментов (Т, V, S ) и их отношений исполнительные операции не представляют труда даже при решении сложных задач, так как они те же самые. Трудность решения этих задач не в арифметических действиях самих по себе, а в адекватности их применения. Рассмотренный прием дает возможность ученику при решении всех задач данного типа составить полную ори­ентировочную основу, что обеспечивает понимание заданной системы отношений и, следовательно, адекватный перевод их на язык арифметических действий.

Логика исполнительных действий определяется логикой ситуации, представленной в условии задачи. При обучении решению арифметических задач учитель должен раскрыть ученику эти отношения, сформировать у него полную и адек­ватную ориентировочную основу выполняемых действий.

Преимущество такого пути обучения доказывают резуль­таты сравнительной и контрольной серий опытов. После обучения 18 испытуемым были даны две усложненные задачи. Вот одна из них: «Надо посадить 60 деревьев. Если будет работать только третий класс, то работа будет выполнена за 3 часа; если будет работать только четвертый класс, то работа будет выполнена за 6 часов. За сколько времени будет выполнена работа, если оба класса будут работать вместе?»

Одна из них была решена всеми испытуемыми вполне самостоятельно. При решении второй, приведенной здесь задачи, семи испытуемым потребовалась небольшая помощь экспериментатора. Затруднения были вызваны условной формой представления данных, что и привело к тому, что не все ученики сумели понять их. Если даже признать эти семь решений ошибочными, то и в этом случае правильные решения составляют 81 %.

Эти же задачи были даны 72 среднеуспевающим учащимся четвертых, пятых, шестых и восьмых классов (18 человек из каждого класса). Оказалось, что правильные решения составили лишь 22% в четвертом классе, 33% в пятом классе, 50% в шестом классе и 19% в восьмом классе. Учащимся шестых и восьмых классов, не справившимся с задачами, было разре­шено пользоваться алгебраическими способами решения, но и это не помогло.

Как видим, результаты плохие. Особенно показательны низкие результаты учащихся восьмых классов: изучение алгебры после изучения арифметики привело не к обобщению арифметических способов решения, не к пониманию их как частных случаев алгебраических отношений, а к забыванию в том виде, в каком они были усвоены.

Преимущество обучения, направленного на формирование прежде всего ориентировочной основы действий, состоит в том, что оно, обеспечивая понимание, сознательный выбор исполнительных действий, делает учащихся самостоятельными, создает у них положительное отношение к занятиям. Из­менение отношения учащихся к арифметике происходит бук­вально на глазах. Вначале учащиеся занимались неохотно (занятия шли за счет их свободного времени), они не скрывали своего отрицательного отношения к решению задач. Но буквально через два-три занятия положение изменилось: дети старались как можно больше решить задач на занятиях, чаще заниматься, исчезла невнимательность. После решения учащимися контрольных задач им было объявлено, что фор­ма занятий меняется: кто хочет - должен сам искать задачи в учебниках арифметики, решать их, а экспериментатору при­носить решения для проверки. Оказалось, что все учащиеся это стали делать, хотя их никто к этому не обязывал, за это не ставили никаких оценок и никто не напоминал им об этом. Учащимися руководил только непосредственный интерес к решению задач, которые стали теперь им доступны'.

' Подробное изложение методики работы с задачами данного типа см.: Никола Г., Талызина Н.Ф. Формирование общих приемов решения арифметических задач // Формирование приемов математического мыш­ления. - М., 1995.-С. 68-120.

Возможно дальнейшее обобщение рассмотренного приема. Предварительный анализ показал, что задачи на «процессы» и задачи на «куплю-продажу» имеют идентичную систему от­ношений; разница лишь в конкретно-предметном плане, что в данном случае не является существенным. Можно предложить способ анализа, позволяющий учащимся подходить к этим двум большим классам арифметических задач как к разно­видности одного и того же типа.

Контрольные вопросы

1. Назовите несколько действии, необходимых при изучении родного языка.

2. Почему нельзя начинать обучение чтению с букв?

3. Почему сочинение лучше диктанта для овладения языком?

4. Почему решение примеров в арифметике легче, чем решение задач?

5. Какой тип ориентировочной основы действия надо стремиться исполь­зовать при изучении любого предмета? Почему?

7. Назовите действия, которые необходимы учащимся при знакомстве с природой, изобразительным искусством.

Литература

Айдарова Л.И. Психологические проблемы обучения младших школь­ников русскому языку. - М., 1978.

Давыдов В.В. Психологические особенности «дочислового» периода обучения математике // Возрастные возможности усвоения знаний. – М., 1996.-С. 104-189.

Салмина Н.Г., Фореро Навис И. Обучение математике в началь­ной школе. - М., 1995. - С. 29-68.

Никола Г., Талызина Н.Ф. Фомирование общих приемов решения арифметических задач // Формирование приемов математического мышле­ния.-М., 1995.