Оценка центральной тенденции
Если распределения для контрольной группы и для фоновых значений в опытной группе более или менее симметричны, то значения, получаемые в опытной группе после воздействия, группируются, как уже говорилось, больше в левой части кривой. Это говорит о том, что после употребления марихуаны выявляется тенденция к ухудшению показателей у большого числа испытуемых.
Для того чтобы выразить подобные тенденции количественно, используют три вида показателей моду, медиану и среднюю.
1. Мода (Мо)-это самый простой из всех трех показателей. Она соответствует либо наиболее частому значению, либо среднему значению класса с наибольшей частотой. Так, в нашем примере для экспериментальной группы мода для фона будет равна 15 (этот результат встречается четыре раза и находится в середине класса 14-15-16). а после воздействия - 9 (середина класса 8-9-10).
Мода используется редко и главным образом для того, чтобы дать общее представление о распределении В некоторых случаях у распределения могут быть две моды; тогда говорят о бимодальном распределении. Такая картина указывает на то, что в данном совокупности имеются две относительно самостоятельные группы (см., например, данные Триона, приведенные в документе 3.5).
Бимодальное распределение
2. Медиана (Me) соответствует центральному значению в последовательном ряду всех полученных значений. Так, для фона в экспериментальной группе, где мы имеем ряд
10 11 12 13 14 14 15 15 15 15 17 17 19 20 21,
медиана соответствует 8-му значению, т.е. 15. Для результатов воздействия в экспериментальной группе она равна 10.
В случае если число данных и, четное, медиана равна средней арифметической между значениями, находящимися в ряду на и/2-м и п/2 + 1-м местах. Так, для результатов воздействия для восьми юношей опытной группы медиана располагается между значениями. находящимися на 4-м (8/2 = 4) и 5-м местах в ряду. Если выписать весь
Статистика и обработка дачных 287
ряд для эгих данных, а именно
7 8 9 11 12 13 14 16,
то окажется, что медиана соответствует (11 + 12)/2 = 11,5 (видно.^что медиана не соответствует здесь ни одному из полученных значении).
3 Средняя арифметическая (М) (далее просто «средняя») - это наиболее часто используемый показатель центральной тенденции. Ее применяют, в частности, в расчетах, необходимых для описания распределения и для его дальнейшего анализа. Ее вычисляют, разделив сумму всех значений данных на число этих данных. Так, для нашей опытной группы она составит 15,2(228/15) для фона и 11,3(169/15) для результатов
воздействия.
Если теперь отметить все эти три параметра на каждой из кривых для экспериментальной группы, то будет видно, что при нормальном распределении они более или менее совпадают, а при асимметричном
распределении - нет.
Прежде чем идти дальше, полезно будет вычислить все эти показатели для обеих распределений контрольной группы-они пригодятся нам в дальнейшем:
9 10 11 12131415161718192021222324Фон
Mo=15 Me =15 М=15,2
После воздействия
Мо=9 Ме=10 М=11.3
288 Приложение Б
Оценка разброса
Как мы уже отмечали, характер распределения результатов после воздействия изучаемого фактора в опытной группе дает существенную информацию о том, как испытуемые выполняли задание. Сказанное относится и к обоим распределениям в контрольной группе:
Контрольная группа Мода (Мо) Медиана (Me) Средняя М\)
Ф°": ............ ............ ............
После воздействия: ............ ............ ............
8 9 10 11 12 1314 1516 171819 2021 22232425 После воздействия
Сразу бросается в глаза, что если средняя в обоих случаях почти одинакова, то во втором распределении результаты больше разбросаны, чем в первом. В таких случаях говорят, что у второго распределения больше диапазон, или размах вариаций, т. е. разница между максимальным и минимальным значениями.
Так, если взять контрольную группу, то диапазон распределения для фона составит 22 — 10 = 12, а после воздействия 25 — 8 = 17. Это позволяет предположить, что повторное выполнение задачи на глазодвига-тельную координацию оказало на испытуемых из контрольной группы определенное влияние: у одних показатели улучшились, у других ухудшились1. Однако для количественной оценки разброса результатов
' Здесь мог проявиться зффект п.шцебо, связанный с тем. что запах дыма травы вызвал у испытуемых уверенность в том, что они находятся под воздействием наркотика. Для проверки этого предположения следовало бы повторить эксперимент со второй контрольной группой, в которой испытуемым будуг 1;|вать только обычную сигарету.
относительно средней в том или ином распределении существуют более точные методы, чем измерение диапазона.
Чаще всего для оценки разброса определяют отклонение каждого из полученных значений от средней (М-М), обозначаемое буквой d, а затем вычисляют среднюю арифметическую всех этих отклонений. Чем она больше, тем больше разброс данных и тем более разнородна выборка. Напротив, если эта средняя невелика, то данные больше сконцентрированы относительно их среднего значения и выборка более однородна.
Итак, первый показатель, используемый для оценки разброса,-это среднее отклонение. Его вычисляют следующим образом (пример, который мы здесь приведем, не имеет ничего общего с нашим гипотетическим экспериментом). Собрав все данные и расположив их в ряд
356911 14, находят среднюю арифметическую для выборки:
3+5+6+9+11+14 48
__————^———————=^=8.
Затем вычисляют отклонения каждого значения от средней и суммируют их:
-5 -3 -2 +1 +3 +6 (3 - 8) + (5 - 8) + (6 - 8) + (9 - 8) + (11 - 8) + (14 - 8).
Однако при таком сложении отрицательные и положительные отклонения будут уничтожать друг друга, иногда даже полностью, так что результат (как в данном примере) может оказаться равным нулю. Из этого ясно, что нужно находить сумму абсолютных значений индивидуальных отклонений и уже эту сумму делить на их общее число. При этом получится следующий результат:
среднее отклонение равно 53213 |3-8|+|5-8[+|6-8|+|9-8|+|11 -8|+ | 14^8! 20 ззз |
б 33'3- |
Общая формула:
2^| п
Среднее отклонение =
где Т. (сигма) означает сумму; | d\ - абсолютное значение каждого индивидуального отклонения от средней; и-число данных.
Однако абсолютными значениями довольно трудно оперировать в алгебраических формулах, используемых в более сложном статистическом анализе. Поэтому статистики решили пойти по «обходному пути», позволяющему отказаться от значений с отрицательным знаком, а именно возводить все значения в квадрат, а затем делить сумму квадратов на
Приложение Б
число данных. В нашем примере это выглядит следующим образом:
(_5)2 + (-З)2 + (-2)2 + (+1)2 + (+3)2 + (+6)2 _
6 _25+9+4+1+9+36_84_
6 - 6 ~ '
В результате такого расчета получают так называемую вариансу1 Формула для вычисления вариансы, таким образом, следующая:
Варианса -=•
Наконец, чтобы получить показатель, сопоставимый по величине со средним отклонением, статистики решили извлекать из вариансы квадратный корень. При этом получается так называемое стандартное отклонение:
Стандартное отклонение =
В нашем примере стандартное отклонение равно ^14 = 3,74.
Следует еще добавить, что для того, чтобы более точно оценить стандартное отклонение для малых выборок (с числом элементов менее 30), в знаменателе выражения под корнем надо использовать не п, an—I:
Вернемся теперь к нашему эксперименту и посмотрим, насколько полезен оказывается этот показатель для описания выборок.
На первом этапе, разумеется, необходимо вычислить стандартное
* Варианса представляет собой один из показателей разброса, используемых в гекоторых статистических методиках (например, при вычислении критерияF,<.м. следующий раздел). Следует отметить, что в отечественной литературе вариансу часто называют дисперсией. -Прим. перед.
* Стандартное отклонение для популяции обозначается маленькой греческой буквой сигм! (ст), а для выборки - буквой s. Это касается и вариансы, т.е кзадрага стандартного отклонения, для популяции она обозначается ет2, а для выборки s2.
Статистика и обработка данных
отклонение для всех четырех распределений. Сделаем это сначала для фона опытной группы: