Золотое сечение. История и современность.

Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.
Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры.
При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный.
Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.
Данное открытие у художников того времени получило название "золотое сечение" картины.
Золотое сечение – гармоническая пропорция.

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b= c : d.
Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами: - на две равные части – АВ : АС= АВ : ВС; - на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют); таким образом, когда АВ : АС= АС : ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b= b : c или с : b= b : а.

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Рис. 2. Динамические прямоугольники

Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей» посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Рис. 3. Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

Рис. 4. Построение шкалы отрезков золотой пропорции

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

В качестве примера, подтверждающего практическую значимость шкалы золотых отношений, рассмотрим соразмерность одного из рисунков Леонардо да Винчи. В большом научном и художественном наследии Леонардо имеется рисунок человека, вписанного в квадрат и круг (рис. 8). Художник сделал его на основе античных представлений о соразмерности тела человека, описанных римским архитектором Витрувием (I век до н. э.). В работе над своим трудом Витрувий пользовался античными первоисточниками (он постоянно на них ссылается), но они до нашего времени не дошли.

Анализ геометрической структуры Рисунка показывает, что его основные элементы выражаются числами шкалы φ. Например, отношение периметра квадрата (Р) к длине окружности (L) есть число 1,059 (№ 5 на шкале φ). Отношение диаметра круга (d) к диагонали прямоугольника (К), отсеченного от квадрата диаметром круга, равно √1,059 = 1,029. Диагональ (с) прямоугольника, отсеченного от квадрата линией распростертых рук относится к хорде круга (в), как √5 — 1 = 1,236 (№4). Диагональ (с) относится к стороне квадрата (а), как √1,618 = 1,272. Отношение хорды (в) к стороне прямоугольника (т) такое же, как отношение сторон m и n: оно равно 1,618/2 = .1,309, и т. д.

В этой связи следует вернуться к вышеописанному анализу прямоугольника с диагональю 1,618, расчлененного прямоугольником с диагональю √1,618 , и отметить, что в рисунке Леонардо встречаются те же самые числа. Кроме того, эти числа принадлежат и шкале φ.

В структуре рисунка имеется значительно большее количество золотых чисел и производных от них. Обращает на себя внимание необычный подход Леонардо да Винчи к изучению пропорций человека. Дело в том, что, вписывая фигуру человека в квадрат и круг, художник тем самым вывел поиск соразмерности за пределы габаритов тела как такового. Он включил пропорции человека с распростертыми в стороны руками и отодвинутыми ногами. При этом оказывается, что произведение размера распростертых рук на величину диаметра круга есть число 1, 272 = √1,618.

Корень квадратный из числа φ имеет особое значение для поиска соразмерности композиции плаката, равно как и других произведений искусства, так как оставляет величину пропорции неизменной при перестановках числителя и знаменателя в одном из отношений пропорции. Таким образом, чтобы исследовать пропорции какой-либо композиции, необходимо выйти за пределы целого, то есть умножить целое на 1,272 (при анализе пропорций по шкале φ).

Чтобы определить пропорции человека, надо составить сложное отношение, состоящее из двух простых отношений, по следующей схеме:

Анализ пропорций следует проводить на основе наиболее важных антропометрических точек тела. Выберем следующие точки: верхушечную (верх головы), глазную, ротовую (она проецируется на первый шейный позвонок — атлант), верхнегрудинную (яремная ямка), нижнегрудинную (место сочленения грудины и мечевидного отростка), пупочную, лонного сочленения, верхнеберцовую (щель коленного сустава), нижнеберцовую (голеностопный сустав), конечную (уровень пола).

Для человека целое — это его рост, например 1680 мм. Тогда большее целое равно: 1680 мм * 1,272 = 2137 мм, что соответствует высоте поднятой вверх руки человека данного роста. Второе отношение составлено из отрезков, полученных путем деления роста человека на высоте пупка. Составим сложное отношение: 2137/1680 : 988/692 = 0,891.

Чтобы этот результат соответствовал числам первого отрезка шкалы φ, получим его обратное отношение: 1/0,891 = 1,122 (порядковый номер на шкале 21). Если поменять местами числитель и знаменатель второго отношения, будем иметь 2137/1680 : 692/988 = 1,816.

Приведя результат к шкале φ, получим: 1,816/1,618 = 1,122, то есть величина сложного отношения останется неизменной.

Пропорции человека в выбранных антропометрических точках показаны на рис.9, где все остальные отношения получены аналогичным образом.

Рис. 9

Упорядочим по величине порядковые номера, полученные в результате вычисления пропорциональных отрезков тела человека указанного роста: 11, 18, 21, 28, 31, 38, 41. Первая разность между двумя смежными номерами даст новую последовательность: 7, 3, 7, 3, 7, 3, а вторая — метр: 3, 3, 3, 3, 3, 3. Получены размеры частей тела (45/. 105, 72, 119, 199, 197, 148, 352, 393, 95), которые, казалось бы, не имеют никакой закономерной пропорциональной связи между собой, но оказываются в высшей степени регулярными и симметричными. В античности симметрия была неотделима от понятия гармонии. Но гармония, точнее, ее числовое выражение не выступает в явном виде.